מהו חלל Hilbert? + דוגמה

Hilbert שטח הוא קבוצה של אלמנטים עם מאפיינים מסוימים, כלומר:

זהו מרחב וקטור (כך, יש פעולות על אלמנטים אופייניים עבור וקטורים, כמו כפל על ידי מספר אמיתי תוספת המספקים חוקים commutative ו אסוציאטיבי);

יש סקלר (המכונה לפעמים מוצר פנימי או נקודה) בין שני אלמנטים שמביא למספר ממשי.

לדוגמה, החלל האיקלידיאני התלת-מימדי שלנו הוא דוגמה לחלל Hilbert עם מוצר סקלרי של # x = (x_1, x_2, x_3) # ו # y = (y_1, y_2, y_3) # שווה ל # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

דוגמה מעניינת יותר היא מרחב של כל פונקציות רציפה על קטע # a, b # עם מוצר סקלרי מוגדר

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

בפיזיקה קוונטית מרחב הילברט משחק תפקיד חשוב מאוד כפונקציה המתארת את מצב המערכת # Psi # הוא אלמנט של מרחב Hilbert.

אני יכול להמליץ

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

כהקדמה לשימוש של מרחב Hilbert בפיזיקה קוונטית.