מהו שטח טרפז שהאלכסון שלו הוא כל 30, וגובהו 18?

תשובה:

#S_ (טרפז) = 432 #

הסבר:

שקול איור 1

ב טרפז ABCD כי עונה על תנאי הבעיה (שם # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, ו- AB מקביל לתקליטור) אנו מבחינים בכך, תוך שימוש ביישום 'משפט זוויות הפנים החלופיות' # alpha = delta # ו # beta = gamma #.

אם אנו מציירים שתי שורות אנכיות לפלח AB, יצירת מקטעים AF ו- BG, אנו יכולים לראות זאת #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (כי שני המשולשים הם אלה הנכונים ואנחנו יודעים כי hypotenuse של אחד שווה hypotenuse של אחרים וכי רגל של משולש אחד שווה רגל של המשולש השני) ואז # alpha = ביתא # => # gamma = delta #.

מאז # gamma = delta # אנחנו יכולים לראות את זה #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # ו # AD = BC #, ולכן טרפז הוא שוהים.

אנחנו גם יכולים לראות את זה #triangle_ (ADP) - = משולש (BCQ) # # => # AP = BQ # (או # x = y # באיור 2).

שקול איור 2

אנו יכולים לראות כי טרפז באיור 2 יש צורה שונה מזו של דמות 1, אבל שניהם מספקים את התנאים של הבעיה. הצגתי את שתי הדמויות כדי להראות כי המידע של הבעיה אינו מאפשר לקבוע את הגדלים של הבסיס 1 (#M#) ושל הבסיס 2 (# n #) של הטרפז, אך נראה כי אין צורך במידע נוסף כדי לחשב את השטח של הטרפז.

ב #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP + 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

מאז # n = m + x + y # ו # x = y # => # n = m + 2 * x # ו # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

# = (= +) = (= +) + = = (= + +) =

הערה: אנחנו יכולים לנסות לקבוע M ו n הצמדת שתי משוואות אלה:

ב #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

ב #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD = 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos דלתא = 4/5 # כי #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

אבל פתרון של מערכת זו של שתי משוואות, היינו רק לגלות את זה M ואת הצד AD אינם ברורים.