כיצד ניתן לפתור 2sinx = cos (x / 3)?

תשובה:

הפתרונות המקוריים שלנו הם:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, or -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

עבור מספר שלם # k #.

הסבר:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

זה די קשה.

נתחיל בהגדרה # y = x / 3 # לכן # x = 3y # ואת החלפת. לאחר מכן אנו יכולים להשתמש הנוסחה זווית משולשת:

# 2 חטא (3y) = cos y #

# 2 (3 חטא y - 4 חטא ^ 3 y) = cos y #

בואו מרובע אז אנחנו כותבים הכל במונחים של # חטא ^ 2 y #. זה סביר להניח להציג שורשים זרים.

# 4 חטא ^ 2y (3 - 4 חטא ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin = 2 y #

תן # s = sin = 2 y #. צלילים מרובעים נקראים ממרחים ב Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

זוהי משוואה מעוקבת עם שלושה שורשים אמיתיים, מועמדים לסדרות הריבוע של # 3x # # אנחנו יכולים להעסיק את הנוסחה מעוקב, אבל זה רק יוביל כמה שורשים קובייה של מספרים מורכבים שאינם מועילים במיוחד. בואו ניקח פתרון מספרי:

# s 0.66035 או s 0.029196 או s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

בואו נעבוד במעלות. הפתרונות הפוטנציאליים המקוריים שלנו הם:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) בערך 163.058 ^ circ או pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) בערך pm 29.5149 ^ circ או pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) בערך pm 192.573 ^ circ או pm 732.573 ^ circ #

בואו נראה אם כל אחד מהם עובד. תן #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) כ- 0.00001 quad # זה פתרון.

#e (-163.058 ^ circ) בערך -1.17 quad # לא פתרון.

ללא ספק לכל היותר אחד #אחר הצהריים# זוג יעבוד.

עוד עשרה ללכת.

#e (703.058 ^ circ) כ 0.00001 מרובע sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # לא

#e (29.5149 ^ circ) בערך 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # לא

#e (569.51 ^ circ) בערך 10 ^ {- 4} מרובע sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # לא

#e (192.573 ^ circ) כ-.87 quad # לא

#e (-192.573 ^ circ) בערך 0.00001 מרובע sqrt #

#e (732.573 ^ circ) כ-.87 quad # לא

#e (-732.573 ^ circ) בערך 0.00001 מרובע sqrt #

Arcsin מגיע עם # + 360 ^ circ k #, ואת גורם של שלושה עושה את זה # 1080 ^ circ k #

אישור, הפתרונות המקורבים שלנו הם:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # עבור מספר שלם # k #.