מהו משפט הגבול המרכזי?

תשובה:

משפט הגבול המרכזי עושה קפדני את הרעיון האינטואיטיבי כי הערכות של הממוצע (משוער מדגם כלשהו) של מדידה מסוימים הקשורים כמה אוכלוסיה לשפר ככל שגודל המדגם עולה.

הסבר:

תאר לעצמך יער המכיל 100 עצים.

עכשיו דמיינו את זה (ולא מציאותי), כי נמדד מטרים, רבע מהם יש גובה של 2, רבע מהם יש גובה של 3, רבע מהם יש גובה של 4, ולרבע מהם יש גובה 5.

תארו לעצמכם את מדידת הגובה של כל עץ ביער, ושימוש במידע כדי ליצור היסטוגרמה עם גדלים בינוניים שנבחרו כראוי (למשל 1.5 עד 2.5, 2.5 עד 3.5, 3.5 עד 4.5 ו -5.5 ל -6.5, אני מבין שלא ציינתי את bin אשר גבולות שייכים אבל זה לא משנה כאן).

ניתן להשתמש בהיסטוגרמה כדי להעריך את התפלגות ההסתברות של העצים. ברור שזה לא יהיה נורמלי.למעשה, מתן נקודות הקצה נבחרו כראוי, זה יהיה אחד אחיד כי יהיה מספר שווה של עצים המתאימים אחד הגבהים המפורטים בכל סל.

עכשיו דמיינו להיכנס ליער ולמדוד את הגובה של שני עצים בלבד; לחשב את הגובה הממוצע של שני עצים אלה ולעשות הערה של זה. חזור על הפעולה מספר פעמים, כך שתהיה לך אוסף של ערכים ממוצעים עבור דוגמאות בגודל 2. אם היית מתכנן היסטוגרמה של האומדנים של הממוצע, זה כבר לא יהיה אחיד. במקום זאת, סביר להניח כי יהיו יותר מדידות (אומדנים של ממוצע מבוסס על דגימות בגודל 2) ליד הגובה הממוצע הכולל של כל העצים ביער (במקרה זה,

#(2 + 3 + 4 + 5)/4 = 3.5# מטר).

כפי שיהיו עוד אומדני הממוצע ליד ה אוכלוסייה אמיתית (הידועה בדוגמה לא ריאליסטית זו), רחוק מהממוצע, הצורה של ההיסטוגרמה החדשה תהיה קרובה יותר לחלוקה נורמלית (עם שיא ליד הממוצע).

עכשיו דמיינו להיכנס ליער ולחזור על התרגיל חוץ מזה שאתם מודדים את הגובה של 3 עצים, חישוב הממוצע בכל מקרה, ולעשות הערה של זה. ההיסטוגרמה שתבנה תהיה בעלת אומדנים רבים יותר של הממוצע ליד הממוצע האמיתי, עם פחות התפשטות (הסיכוי לקטוף שלושה עצים בכל מדגם אחד, כך שכולם מגיעים משני הקבוצות הקצה - גבוה או קצר מאוד --- הוא פחות לקטוף שלושה עצים עם מבחר של גבהים). הצורה של ההיסטוגרמה שלך, המהווה אומדן של הגודל הממוצע (כל ממוצע המבוסס על שלוש מדידות), תהיה קרובה יותר לזו של התפלגות נורמלית וסטיית התקן המקבילה (של אומדני הממוצע, לא של אוכלוסיית האב) תהיה קטן יותר.

חזור על זה עבור 4, 5, 6, וכו ', עצים לכל ממוצע, ואת ההיסטוגרמה כי היית בונה ייראה יותר ויותר כמו התפלגות נורמלית (עם הגדלת גדלים מדגם גדול יותר), עם ממוצע של הפצה של ה אומדני הממוצע להיות קרוב יותר לממוצע האמיתי, וסטיית התקן של אומדני הממוצע הופכים צרים וצרים יותר.

אם אתה חוזר על התרגיל עבור המקרה (מנוון) שבו כל העצים נמדדים (בהזדמנויות שונות, ביצוע פתק של הממוצע בכל מקרה), אז ההיסטוגרמה יהיו הערכות של הממוצע רק באחת הסלים (המקביל לממוצע האמיתי), ללא כל שינוי, כך שסטיית התקן של (התפלגות ההסתברות נאמדה מ) כי "היסטוגרמה" תהיה אפס.

לכן, משפט הגבול המרכזי מציין כי הממוצע של אומדן מסוים של ממוצע של אוכלוסייה מסוימת מתקרבת לממוצע האמיתי, וסטיית התקן של אומדן הממוצע (במקום סטיית התקן של התפלגות אוכלוסיית האב) הופך קטן יותר ויותר עבור גדלים מדגם גדול.