שאלה # ecc3a

תשובה:

# 2x) (xx2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x 1) / sqrt3) + C #

הסבר:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

תשובה:

(# 2 + 1) / dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

הסבר:

בכל פעם שיש לנו ריבוע במכנה ולא #איקס#בממונה, אנחנו רוצים לקבל את האינטגרל בצורה הבאה:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

במקרה שלנו, אנחנו יכולים לעשות זאת על ידי השלמת הריבוע ולאחר מכן באמצעות החלפת.

# x ^ 2 + x + 1 = (+ 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (+ 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3/3/1 / (x + 2 + x + 1) dx = 3int 1 / (x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

אנחנו רוצים להציג את החלפת u כך:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

אנחנו יכולים לפתור #איקס# כדי להבין מה צריך להחליף את זה:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

כדי להשתלב ביחס # u #, אנו מכפילים על ידי נגזרת של #איקס# לגבי # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3 * 3int 1 / (x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du =

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

עכשיו אנחנו יכולים לפתור # u # במונחים של #איקס# כדי לשלוח מחדש:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

משמעות הדבר היא שהתשובה האחרונה שלנו היא:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #