שאלה # 27939

תשובה:

כפי שציין סוניפ סינה # -1 + sqrt3i # אינו אפס. (הזנחתי לבדוק את זה). אפסים אחרים הם # 1-sqrt3 # ו #1#.

הסבר:

מכיוון שכל המקדמים הם מספרים ממשיים, כל אפסים דמיוניים חייבים להתרחש בזוגות מצומדות.

לכן, # 1-sqrt3 # הוא אפס.

אם # c # הוא אפס אז # z-c # הוא גורם, כדי שנוכל להכפיל

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # להשיג # z ^ 2-2z + 4 #

ולאחר מכן לחלק #P (z) # על ידי אותו ריבועי.

אבל מהר יותר לשקול את האפס הרציונלי האפשרי # P # ראשון. או להוסיף את המקדמים כדי לראות את זה #1# הוא גם אפס.

תשובה:

#1# ו # 1 - sqrt3 #

הסבר:

אירעה שגיאה בשאלה שלך. השורש צריך להיות # 1 + sqrt3 #. תוכל לאמת זאת על ידי הוספת הערך בביטוי. אם זה שורש הביטוי צריך להעריך לאפס.

הביטוי כולל את כל המקדמים האמיתיים, כך על ידי מורכבים Conjugate שורשים Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), יש לנו כי השורש המורכב השני הוא # 1 - sqrt3 #, ברור, השורש השלישי (נניח # a #) צריך להיות אמיתי, שכן זה לא יכול להיות מצומד מורכב; אחרת יהיו 4 שורשים, אשר אינו אפשרי עבור משוואת תואר 3.

הערה

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# ((z - 1) + sqrt3 i) (z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # # (מאז # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) # #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

ננסה להשיג את הגורם הזה בביטוי.

אנו רשאים לכתוב:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) # #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

תשובה:

בתור הקדמה, אני חושב כי השורש צריך להיות #color (כחול) (1 + sqrt3) # ולא #color (אדום) (- 1 + sqrt3) #

על בסיס זה התשובה שלי היא:

#z ב- {1, '1 + sqrt3', '1-sqrt3} #

הסבר:

באמצעות הרעיון של מצמדים מורכבים ועוד כמה טריקים מגניבים.

#P (z) # הוא פולינום של התואר #3#. זה מרמז כי זה צריך רק #3# שורשים.

עובדה אחת מעניינת על שורשים מורכבים היא שהם לא מתרחשים לבד. הם תמיד מתרחשים זוגות מצומדות.

אז אם # 1 + isqrt3 # הוא שורש אחד, ולאחר מכן הצמיד שלו: # 1-isqrt3 # בהחלט הוא שורש מדי!

ומכיוון שיש עוד שורש אחד, אנחנו יכולים לכנות את השורש הזה # z = a #.

זה לא מספר מורכב, כי שורשים מורכבים תמיד להתרחש בזוגות.

ומכיוון שזה האחרון #3# שורשים, לא יכול להיות כל זוג אחר אחרי הראשון!

בסופו של דבר הגורמים של #P (z) # נמצאו בקלות # z- (1 + isqrt3) "," z-1-isqrt3 "ו-" (z-a) #

הערה: שים לב שההבדל בין שורש לגורם הוא:

- שורש יכול להיות # z = 1 + i #

אבל הגורם המקביל יהיה # z- (1 + i) #

הטריק השני הוא זה, על ידי פקטורינג #P (z) # אנחנו צריכים לקבל משהו כזה:

# (Z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

לאחר מכן, להרחיב את הפלטה, # (Z + a) # z (a) # (z) = z-2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

לאחר מכן, אנו משווים את זה לפולינום המקורי #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# +> z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

מאז שני פולינומים זהים, אנו משווים את המקדמים של # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #ו # z ^ 0 #(המונח הקבוע) משני הצדדים,

למעשה, אנחנו פשוט צריכים לבחור משוואה אחת כדי לפתור את זה # a #

משווים את התנאים הקבועים, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

מכאן השורש האחרון #color (כחול) (z = 1) # #