שאלה # a8660

תשובה:

ישנן שתי נקודות מרבי

# (pi / 6, 5/4) = (0.523599, 1.25) "" # # ו # (5pi) / 6, 5/4) = (2.61799, 1.25) #

יש נקודה מינימלית אחת # (pi / 2, 1) = (1.57, 1) "" #

הסבר:

תן את נתון על ידי # y = sin x + cos ^ 2 x #

לקבוע את הנגזרת הראשונה # dy / dx # אז שווה אפס, כלומר # dy / dx = 0 #

הבה נתחיל

מן נתון

# y = sin x + cos ^ 2 x = sin x + (cos x) ^ 2 #

# d / dx (y) = d / dx (sin x) + d / dx (cos x) ^ 2 #

# dy / dx = cos x * dx / dx + 2 * (cos x) ^ (2-1)) * d / dx (cos x) #

# dy / dx = cos x * 1 + 2 * (cos x) ^ 1 * (- sin x) * dx / dx #

# dy / dx = cos x-2 * sin x * cos x * 1 #

# dy / dx = cos x-2 * sin x * cos x #

משווים # dy / dx = 0 #

#cos x-2 * חטא x * cos x = 0 #

לפתור על ידי

#cos x (1-2 sin x) = 0 #

משווים כל גורם לאפס

#cos x = 0 "" "# הגורם הראשון

#arccos (cos x) = arccos 0 #

# x = pi / 2 #

למצוא # y #, תוך שימוש במשוואה המקורית

# y = sin x + cos ^ 2 x #

# y = sin (pi / 2) + cos ^ 2 (pi / 2) #

# y = 1 + (0) ^ 2 #

# y = 1 #

פתרון # (pi / 2, 1) = (1.57, 1) "" #נקודת המינימום

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# 1-2 sin x = 0 "" "" # הגורם השני

# 2 * חטא x = 1 #

#sin x = 1/2 #

#arcsin (sin x) = arcsin (1/2) #

# x = pi / 6 # גם # x = (5pi) / 6 #

למצוא # y #, שימוש # x = pi / 6 # במשוואה המקורית

# y = sin x + cos ^ 2 x #

# y = חטא (pi / 6) + cos ^ 2 (pi / 6) #

# y = 1/2 + (sqrt3 / 2) ^ 2 #

# y = 1/2 + 3/4 #

# y = 5/4 #

פתרון # (pi / 6, 5/4) = (0.523599, 1.25) "" # #הנקודה המקסימלית

הנקודה האחרת האחרת היא # (5pi) / 6, 5/4) = (2.61799, 1.25) #

כי #sin (pi / 6) = חטא (5pi) / 6) #. לכן יש שתי נקודות מקסימום.

בחביבות לראות את הגרף ולאתר את נקודות קריטיות

גרף {y = sin x + (cos x) ^ 2 -1, 5, -1, 1.5}

אלוהים יברך … אני מקווה שההסבר שימושי.