איך אתה משתמש במבחן השוואה הגבול עבור סכום 1 / (n + sqrt (n)) עבור n = 1 ל n = oo?

תשובה:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # דיגרגים, זה ניתן לראות על ידי השוואתה ל #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

הסבר:

מכיוון שסדרה זו היא סכום של מספרים חיוביים, עלינו למצוא סדרה מתכנסת #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # כך ש #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # ולהסיק שהסדרה שלנו מתכנסת, או שאנחנו צריכים למצוא סדרה שונה כך #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # ולסיים את הסדרה שלנו להיות סוטה גם כן.

אנו מעירים את הדברים הבאים:

ל

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

לכן

# n + sqrt (n) <= 2n #.

לכן

# 1 / (n + sqrt (n))> 1 = / (2n) #.

מאז זה ידוע היטב #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # deverges, כך #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # גם אם היא תתערב, אם כן # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # היו מתכנסים גם כן, וזה לא המקרה.

עכשיו באמצעות מבחן ההשוואה, אנו רואים את זה #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # סוטה.

מבחן השוואה הגבול לוקח שתי סדרות, # suma_n # ו # sumb_n # איפה #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

אם #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # איפה #L> 0 # והוא סופי, אז או שני הסדרה נפגשים או שתי סדרות לסטות.

אנחנו צריכים לתת # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, רצף מסדרה נתונה. טוב # b_n # הבחירה היא הפונקציה המכריעה # a_n # 43 כ # n # הופך גדול. אז בואו # b_n = 1 / n #.

שים לב ש # sumb_n # (הוא הסדרה ההרמונית).

אז, אנחנו רואים את זה # (n / sqrn) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) # #. המשך בחלוקה באמצעות # n / n #, זה הופך #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

מאז הגבול הוא #1#, שהוא #>0# והגדרנו, אנו רואים זאת # suma_n # ו # sumb_n # יהיה גם לסטות או להתכנס. מאז אנחנו כבר יודעים ב # sumb_n # אנו יכולים להסיק מכך # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # מפריד גם כן.