פתרו (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4?

תשובה:

#y = -2 + -qqrt (2), "" 1/2 + - (sqrt (7) i) / 2 #

הסבר:

בהתחשב you # (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

זוהי דרך אחת לפתור. להשתמש # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

# y = 2 + 2cancel (y) (2 / Cancel (y)) + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

# y ^ 2 + 4 + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

הכפל את שני הצדדים על ידי # y ^ 2 # לחסל את השברים:

# y ^ 4 + 4y ^ 2 + 4 + 3y ^ 3 + 6y = 4y ^ 2 #

הוסף מונחים והוסף בסדר יורד:

# y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 = 0 #

גורם:

לא ניתן להשתמש בפקטורינג קבוצתי.

להשתמש # (y ^ 2 + ay + b) (y ^ 2 + cy + d) = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

(+ + +) + y + 3 + + + + 3y ^ 3 + 6y + 4 # (+ c +) y + 3 +

פתור את המערכת:

#a + c = 3 "" # מקדם # y ^ 3 # טווח

#d + ac + b = 0 "" # בגלל שאין # y ^ 2 # טווח

#ad + bc = 6 "" # מקדם # y # טווח

#bd = 4 #

התחל עם האפשרויות #bd = (2, 2), (4, 1), (1, 4) #

אם #b = 2, d = 2 #, ולאחר מכן מן המשוואה השנייה: #ac = -4 #

נסה #a = -1, c = 4 "" # עובד עבור כל המשוואות!

Factored: # "(y ^ 2 - y + 2) (y ^ 2 + 4y + 2) = 0 #

לפתור כל trinomial או על ידי השלמת הריבוע או באמצעות נוסחה ריבועית:

# y ^ 2 - y + 2 = 0; "" y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #

#y = (1 + - sqrt (1-4 (1) (2))) / 2; "" y = (-4 + - sqrt (16-4 (1) (2))) / 2 #

#y = (1 + - sqrt (7) i) / 2; "" y = -2 + -qqrt (8) / 2 = -2 + - sqrt (2) #

תשובה:

# y_1 = (1 + isqrt7) / 2 #, # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #, # y_3 = -2 + sqrt2 # ו # y_4 = -2-sqrt2 #

הסבר:

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3 * (y + 2 / y) = 4 #

לאחר ההגדרה # x = y + 2 / y #, משוואה זו הפכה

# x ^ 2 + 3x = 4 #

# x ^ 2 + 3x-4 = 0 #

# (x + 4) * (x-1) = 0 #, לכן # x_1 = 1 # ו # x_2 = -4 #

#a) # ל # x = 1 #, # y + 2 / y = 1 #

# y ^ 2 + 2 = y #

# y ^ 2-y + 2 = 0 #, כתוצאה מכך # y_1 = (1 + isqrt7) / 2 # ו # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #

#b) # ל # x = -4 #,

# y + 2 / y = -4 #

# y ^ 2 + 2 = -4y #

# y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #, כתוצאה מכך # y_3 = -2 + sqrt2 # ו # y_4 = -2-sqrt2 #