תשובה:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
הסבר:
ראשית תן # t = cosx #.
# y = t ^ 2 + 7t + 8 #
עכשיו, בואו להשלים את הכיכר כדי גורם זה.
# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
שים לב ש # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #
אז אנחנו רוצים להוסיף #49/4# לתוך הביטוי ולחסר אותו בחזרה שוב.
# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
שים לב ש #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
עכשיו, שים לב # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# y = (t + 7/2) ^ 2 (sqrt17 / 2) ^ 2 #
עכשיו, יש לנו הבדל של ריבועים יכול גורם זה כאחד.
#y = t + 7/2 + sqrt17 / 2 t + 7/2 - sqrt17 / 2 # #
# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
אם נרצה, נוכל להביא גורם משותף #1/2# מתוך כל חלק:
# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2 cosx + 7-sqrt17) #
תשובה:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt {17}} {2}) #
הסבר:
תן # u = cos (x) #
השאלה הופכת לאחר מכן:
גורם # u ^ 2 + 7u + 8 # אתה יכול פשוט להשתמש נוסחה ריבועית כאן כלומר. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac}} {2a} #
או שאתה יכול לעשות את זה דרך ארוכה (וזה לא יותר טוב מאשר הנוסחה, למעשה היא אחת השיטות להשתמש כדי לנסח את הנוסחה ריבועית):
למצוא שני שורשים, # r_1 # ו # r_2 # כך ש # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Expand: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
לכן: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
ולכן: # - (r_1 + r_2) = 7 # ו # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) = 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
לכן, הטופס factored הוא # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt {17}} {2}) #
:05 # u = cos (x) # להשיג:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt {17}} {2}) #
