מה הוא antiderivate של (/ x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

תשובה:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

הסבר:

אז הנה יש לנו את האינטגרל:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

וצורה של גומלין ריבועי נראה כי תחליף טריגונומטרי יעבוד כאן. אז הראשון להשלים את הכיכר להגיע:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

לאחר מכן החל את החלפה #u = x-1 # כדי להסיר את ליניארי:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

לכן אנו יכולים לשנות את המשתנים ללא תופעות לוואי לא רצויות:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

עכשיו, זוהי הצורה האידיאלית לביצוע תחליף טריגונומטרי; # u ^ 2 + 1 # מרמז על זהות פיתגורס # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, אז אנחנו מיישמים את החלפה #u = tantheta # כדי לפשט את המכנה:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = = ^ 2 theta d theta #

אז אינטגרל הופך:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

עכשיו, אנו משתמשים הנוסחה זווית כפולה עבור # cos # כדי להפוך את זה antiderivative יותר לניהול:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

ואז לשים את זה לתוך אינטגרל:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (ו reopening זה עם הנוסחה זווית כפולה עבור #חטא#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

עכשיו, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tta tta * cos theta #

#rArr חטא theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) # #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

לבסוף, להגיע לנקודה:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #