כיצד לשלב אינט [6x ^ 2 + 13x + 6] / [x + 2) (x + 1) ^ 2] dx על ידי חלקי חלק?

כיצד לשלב אינט [6x ^ 2 + 13x + 6] / [x + 2) (x + 1) ^ 2] dx על ידי חלקי חלק?
Anonim

תשובה:

# +ln (ABS) (+ 2) + 2ln (ABS) (+ 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

הסבר:

אז, אנחנו הראשונים לכתוב את זה:

# (X + 2) + B + (x + 1) + C (x + 1) ^ (+ 6 x ^ 2 + 13x + 6) / (x + 2) 2 #

בנוסף, אנו מקבלים:

# (X + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) + ^ (+ 2) + (+ 1) + (+ 2) + (x + 1)

# Xx 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

שימוש # x = -2 # נותן לנו:

# 6 (+) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# Xx 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

לאחר מכן באמצעות # x = -1 # נותן לנו:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) # #

עכשיו באמצעות # x = 0 # (ניתן להשתמש בכל ערך שלא נעשה בו שימוש):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) # #

# (X + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) + (x + 1) 2 #

# (+ +) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4ln (ABS (x + 2)) + 2ln (ABS (x + 1) + int 1 / (x + 1) ^ 2dx #

השארתי את זה החוצה כדי שנוכל לעבוד על זה בנפרד.

יש לנו # - (x + 1) ^ - 2 #. אנו יודעים כי באמצעות הכלל שרשרת נותן לנו # d / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. פשוט יש לנו # - (x + 1) ^ - 2 #, לכן #f (x) # חייב להיות # (x + 1) ^ - 1 #

# d / dx x + 1 ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4ln (ABS (x + 2)) + 2ln (ABS (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #