אם 3x ^ 2-4x + 1 יש אפסים אלפא ובטא, אז מה ריבועי יש אפסים אלפא ^ 2 / בטא וביתא ^ 2 / אלפא?

תשובה:

למצוא # אלפא # ו # beta # ראשון.

הסבר:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

בצד שמאל גורמים, כך יש לנו

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

ללא אובדן של הכלליות, השורשים הם #alpha = 1 # ו #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # ו #(1/3)^2/1= 1/9#.

פולינום עם מקדמי רציונלי שיש שורשים אלה

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

אם אנו רוצים מקדמי שלם, להכפיל ידי 9 להשיג:

# x (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

אנו יכולים להכפיל את זה אם נרצה:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

הערה: באופן כללי יותר, נוכל לכתוב

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x x ^ 2 - (אלפא + 3 + ביתא 3) / (אלפבטה)) x + alphabeta #

תשובה:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

הסבר:

שים לב ש:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (גרסת ביטא + ביתא) x אלפא ביתא #

you

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2 (אלפא ^ 2 / ביתא + ביתא + 2 / אלפא) x + (אלפא ^ 2 / בטא) (beta ^ 2 / אלפא) #

# xolor (לבן) (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = = x ^ 2 (אלפא ^ 3 + ביתא ^ 3) / (אלפא ביתא) x + אלפא ביתא #

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = = x ^ 2 - (אלפא + ביתא) ^ 3-3alpha ביתא (אלפא + ביתא)) / (אלפא בטא) x + אלפא ביתא #

בדוגמה שלנו, מחלקים # 3x ^ 2-4x + 1 # על ידי #3# יש לנו:

# {(אלפא + ביתא = 4/3), (אלפא ביתא = 1/3): # #

לכן:

אלפא + ביתא) + (אלפא ביתא)) / (אלפא ביתא) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

אז פולינום הרצוי ניתן לכתוב:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

הכפל דרך על ידי #9# כדי לקבל מקדמים שלמים:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

תשובה:

הפתרון המוצע להלן;

הסבר:

# 3x²-4x + 1 #

הערה: # a # הוא אלפא, # b # הוא ביתא

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

כדי ליצור משוואה אנו מוצאים את הסכום ואת המוצרים של השורשים..

עבור סכום

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

אבל; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

לכן;

# (a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

לכן אנו מחליפים את הערכים..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / לבטל 3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / canc27_9) xx (ביטול 3/1) #

#28/9#

לפיכך, הסכום הוא #28/9#

עבור מוצרים

# ((a²) / b) (b²) / a) # #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / ביטול9_3 xx ביטול / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

לפיכך, המוצר הוא #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x 1/3 #

# 9x² -28x + 3 #

הכפלה על ידי #9#

מקווה שזה עוזר!