מהו טווח פונקציה ריבועית?

תשובה:

ההיקף של #f (x) = ax = 2 + bx + c # J

# ((c-b ^ 2 / (4a), oo) "if" a) 0 (,

הסבר:

בהינתן פונקציה ריבועית:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # עם #a! = 0 #

אנחנו יכולים להשלים את הכיכר כדי למצוא:

# (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2 + (c-b ^ 2 / (4a)) #

עבור ערכים ריאליים של #איקס# את המונח בריבוע # (x + b / (2a)) ^ 2 # הוא לא שלילי, לוקח את הערך המינימלי שלו #0# מתי #x = -b / (2a) #.

לאחר מכן:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

אם #a> 0 # אז זה הערך המינימלי האפשרי של #f (x) # ואת טווח #f (x) # J # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

אם #a <0 # אז זה הערך המרבי האפשרי של #f (x) # ואת טווח #f (x) # J # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

דרך נוספת להסתכל על זה היא לתת #y = f (x) # ולראות אם יש פתרון #איקס# במונחים של # y #.

בהתחשב you

#y = ax ^ ^ 2 + bx + c #

סחיטה # y # משני הצדדים למצוא:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

המפלה # דלתא # של משוואה ריבועית זו היא:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

על מנת לקבל פתרונות אמיתיים, אנו דורשים #Delta> = 0 # 12

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

הוסף # 4ac-b ^ 2 # לשני הצדדים למצוא:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

אם #a> 0 # אז אנחנו יכולים פשוט לחלק את שני הצדדים על ידי # 4a # להשיג:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

אם #a <0 # אז נוכל לחלק את שני הצדדים על ידי # 4a # ולהפוך את אי השוויון להגיע:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #