איך אני מוצא את אינטגרל int (ln (x)) ^ 2dx?

המטרה שלנו היא להפחית את כוחו של #ln x # כך אינטגרל קל יותר להעריך.

אנחנו יכולים להשיג זאת באמצעות שילוב על ידי חלקים. זכור את נוסחת IBP:

#int u dv = uv - int v du #

עכשיו, אנו נותנים #u = (lnx) ^ 2 #, ו #dv = dx #.

לכן, #du = (2lnx) / x dx #

ו

#v = x #.

עכשיו, הרכבה את החלקים יחד, אנחנו מקבלים:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

זה אינטגרל חדש נראה הרבה יותר טוב! לפשט קצת, ולהביא את החזית מתמיד, התשואות:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

עכשיו, כדי להיפטר אינטגרל זה הבא, אנחנו נעשה אינטגרציה שנייה על ידי חלקים, נותנים #u = ln x # ו #dv = dx #.

לפיכך, #du = 1 / x dx # ו #v = x #.

הרכבה נותנת לנו:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

עכשיו, כל מה שנותר לעשות הוא לפשט, תוך התחשבות להוסיף את קבוע של אינטגרציה:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

ויש לנו את זה. זכור, אינטגרציה על ידי חלקים הוא על כל בחירה # u # כך דברים מבולגן לקבל לחסל מן integrand. במקרה זה הבאנו # (ln x) ^ 2 # עד ל #ln x #, ולאחר מכן למטה # 1 / x #. בסופו של דבר, כמה #איקס#זה בוטל, וזה הפך להיות קל יותר לשלב.