פתרו את הגרזן ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

תשובה:

סקיצה מהירה …

הסבר:

בהתחשב you

# ax + 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # עם #a! = 0 #

זה מקבל מבולגן די מהר, אז אני פשוט לתת סקיצה של שיטה אחת …

הכפל על ידי # 256a ^ 3 # תחליף #t = (4x + b) # כדי לקבל רביעית מונית מדוכא של הטופס:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

שים לב כי זה אין מונח ב # t ^ 3 #, זה חייב גורם הטופס:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-at + B) (t ^ 2 + at + C) #

# + c + A + 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

השוואת מקדמי וסידור מחדש, יש לנו:

# (B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

כך אנו מוצאים:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#Color (לבן) (A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (לבן) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

הכפלה, הכפלה # A ^ ^ 2 # ו reranange מעט, זה הופך:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

זה "מעוקב ב # A ^ ^ 2 #"יש לפחות שורש אחד אמיתי, באופן אידיאלי יש לו שורש אמיתי חיובי המניב שני ערכים אמיתיים # A #. ללא קשר, כל שורש של מעוקב יעשה.

בהתחשב בערך של # A #, יש לנו:

#B = 1/2 (+ B + C) + (B-C)) = 1/2 (A + 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) # #

לפיכך אנו מקבלים שני quadratics לפתור.