Psi (x, t) = (1 / L) חטא (2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) שאלה חדשה ?

#a) #

אתה רק צריך לקחת #Psi ^ "*" Psi #.

# (1) (1) / l (e) - (iomega_1t) + 1 (L / 1) חטא (1 / L) (1 / L) חטא (1 / L) חטא ((/) L) e ^ - (iomega_1t) + חרט (1 / L) חטא (2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# (1 / L) חטא (2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) (iomega_2t) # ^ (- iomega_2t) (#) / (L) e ^ - (iomega_1t)

# 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) חטא (2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L חטא ((2) 2 (2pix) / l) # (1) / (L)

# (1 / L) חטא 1 / L חטא ((pix) / L) חטא (2pix) / L) e ^ (i) (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t) #

#b) #

התקופה ניתן למצוא עם מאמץ מינימלי, פשוט על ידי הראשון לדעת את האנרגיות, אשר קבועים של ההצעה.

האנרגיה של # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # # J # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2 ^ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, ואת האנרגיה של # phi_2 # J # 4E_1 #. לכן, את התדירות # omega_2 # of # phi_2 # הוא פי ארבעה # phi_1 # (# omega_1 #).

כתוצאה מכך, התקופה # T_1 = (2pi) / (omega_1) # of # phi_1 # הוא פי ארבעה # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, והיא גם תקופה של # phi_2 #.

התקופה היא לפיכך #color (כחול) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

אני אתן לך לחבר את זה בעצמך #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. אתה לא צריך לעשות שום דבר עם זה …

אנחנו יודעים את זה #T = (2pi) / (omega_1) #, וזה # (iEt) / ℏ = iomegat #, לכן

#E_n = omega_nℏ #.

כתוצאה, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

ו

#color (כחול) (t _ "*" / T) = pi / (2) (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = color (כחול) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

ההסתברות למצוא את החלקיקים # 0, L / 2 # ניתן כ

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# (1/1 Lint_) (0) ^ (L / 2) חטא ^ 2 ((pix) / L) + חטא ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) (2) (d) # (() (^ i ome)))))))))))))))

# 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) חטא ^ 2 ((pix) / L) + חטא ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) חטא ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

שני המונחים הראשונים הם סימטריים עם חצי משרעת, ואת התשואה #50%# באופן כללי.

למונח השלישי תהיה הסתברות של מצב נייח # 4 / (3pi) #, ו # cos # הוא גורם שלב שרירותי. לפיכך, ההסתברות הכללית היא

# = color (כחול) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (כחול) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xpsi psi >> #

# 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) חטא ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

אין פתרון טריוויאלי לזה … זה מסתבר:

# 3 L) / (4 L + / + 4 + 2 +) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) # #

# (+) (+ 6pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) # #

#f) #

ב #x = L / 2 #, ה #חטא# תנאי ללכת #sin (pi / 2) = 1 # ול #sin (pi) = 0 #, בהתאמה.

מאז #sin (pi) = 0 #, החלק תלוי זמן של #Psi ^ "*" Psi # נעלם וחלק הזמן העצמאי נשמר # 1 / L # כמו צפיפות ההסתברות.