במידת האפשר, מצא פונקציה F כך ש- f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

תשובה:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

הסבר:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "עכשיו צא" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "אז יש לנו אחד ואותו F, אשר עונה על התנאים." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

תשובה:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

הסבר:

יש לנו סימני עניים בשאלה כמו מפעיל דל (או מפעיל גרדינט) הוא מפעיל אופרטור וקטור, אנחנו מחפשים פונקציה #f (x, y) # כך ש:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

איפה #bb (grad) # הוא מפעיל הדרגתי:

# (g) f = bb (g) f = (חלק f) / (x x) bb (ul) i (+ f) >

שממנו אנו דורשים כי:

# f_x = (חלק f) / (x חלקי) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (חלק f) / (y חלקי) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

אם אנחנו משלבים A wrt #איקס#, תוך טיפול # y # כמו קבוע אז אנחנו מקבלים:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

אם אנחנו משלבים B wrt # y #, תוך טיפול #איקס# כמו קבוע אז אנחנו מקבלים:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

איפה #u (y) # היא פונקציה שרירותית של # y # לבד, ו #v (x) # היא פונקציה שרירותית של #איקס# לבד.

אנחנו כמובן דורשים פונקציות אלה להיות זהים, ולכן יש לנו:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

וכך אנו בוחרים #v (x) = x ^ 4 # ו #u (y) = y ^ 6 #, אשר נותן לנו את הפתרון שלנו:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

אנחנו יכולים לאשר את הפתרון בקלות על ידי חישוב נגזרים חלקית:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED