מתוך 7 כרטיסי לוטו 3 הם זכייה כרטיסים. אם מישהו קונה 4 כרטיסים מה ההסתברות לזכות לפחות בשני פרסים?

תשובה:

# P = 22/35 #

הסבר:

אז יש לנו #3# המנצח #4# כרטיסים לא מנצח בקרב #7# כרטיסים זמינים.

הבה נפריד את הבעיה לארבעה מקרים עצמאיים הדדיים:

(א) יש #0# כרטיסים מנצחים בקרב אלה #4# קנה

(אז הכל #4# כרטיסים קנה הם מן הבריכה של #4# כרטיסים לא זוכים)

(ב) יש #1# כרטיס הזוכה בין אלה #4# קנה

(לכן, #3# כרטיסים קנה הם מן הבריכה של #4# כרטיסים שאינם זוכים #1# הכרטיס הוא מבריכה של #3# כרטיסים זוכים)

(ג) יש #2# כרטיסים מנצחים בקרב אלה #4# קנה

(לכן, #2# כרטיסים קנה הם מן הבריכה של #4# כרטיסים שאינם זוכים #2# כרטיסים הם מבריכה של #3# כרטיסים זוכים)

(ד) יש #3# כרטיסים מנצחים בקרב אלה #4# קנה

(לכן, #1# כרטיס קנה הוא מבריכה של #4# כרטיסים שאינם זוכים #3# כרטיסים הם מבריכה של #3# כרטיסים זוכים)

לכל אחד מהאירועים הנ"ל יש סבירות משלו להתרחשות.אנו מעוניינים באירועים (c) ו- (d), סכום ההסתברויות של המופע שלהם הוא מה הבעיה. שני אירועים עצמאיים אלה מהווים את האירוע "זכייה לפחות בשני פרסים". מאחר שהם עצמאיים, ההסתברות של אירוע משולב היא סכום של שני מרכיביו.

ניתן לחשב את ההסתברות לאירוע (c) כשיעור של מספר הצירופים של #2# כרטיסים קנה הם מן הבריכה של #4# כרטיסים שאינם זוכים #2# כרטיסים הם מבריכה של #3# כרטיסים מנצחים (# N_c #) למספר הכולל של שילובים של #4# מתוך #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

המונה # N_c # שווה למספר השילובים של #2# כרטיסים הזוכה מתוך #3# זמין # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # מוכפל במספר הצירופים של #2# כרטיסים שאינם זוכים מתוך #4# זמין # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

אז, הוא מונה

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

המכנה הוא

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

אז, ההסתברות של האירוע (ג) הוא

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

באופן דומה, במקרה (ד) יש לנו

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

סך ההסתברויות של האירועים (c) ו- (d) הוא

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #