בואו נתחיל עם הפונקציה #M#:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
פונקציה זו בוודאי יש # x = 0 # כמו שורש, מאז אנחנו factored #איקס#.
השורשים האחרים הם פתרונות של # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, אבל זה פרבולה אין שורשים. משמעות הדבר היא כי פולינום המקורי יש רק שורש אחד.
עכשיו, פולינום #p (x) # של תואר מוזר יש תמיד לפחות פתרון אחד, כי יש לך
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # ו #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
ו #p (x) # הוא רציף, ולכן הוא חייב לחצות את #איקס# ציר בשלב מסוים.
התשובה באה משני התוצאות הבאות:
- פולינום תואר # n # יש בדיוק # n # שורשים מורכבים, אבל הכי הרבה # n # שורשים אמיתיים
- בהתחשב בגרף של #f (x) #, גרף #f (x) + k # יש צורה זהה, אבל זה מתורגם אנכית (אם כלפי מעלה #k> 0 #, כלפי מטה אחרת).
אז, אנחנו מתחילים מ # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, אשר יש רק שורשים אמיתיים (ולכן שני שורשים מורכבים) ואנחנו להפוך אותו # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, כלומר אנו מתרגמים אותו למעלה או למטה, ולכן אנחנו לא לשנות את מספר הפתרונות.
כמה דוגמאות:
הפונקציה המקורית: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
גרף {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
תרגם את: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
גרף {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
תרגם למטה: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
גרף {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
כפי שניתן לראות, תמיד יש שורש אחד
תשובה:
ראה למטה
הסבר:
פתרון חלופי, אולי אלגנטי יותר:
נגזרת של הפולינום שלך הוא # 3x ^ 2-4x + 2 #, שהוא קבר פרבולה ללא שורשים, ולכן תמיד חיובי. לכן, # f # J
- הגברת מונוטוניות
- #lim_ {x to pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
שתי הנקודות הראשונות מראות זאת # f # יש שורש אחד בדיוק, והשלישית כי שני השורשים האחרים הם מורכבים.
