איך אתה משתמש בהגדרת הגבול כדי למצוא את השיפוע של הקו המשיק לתרשים 3x ^ 2-5x + 2 ב- x = 3?

תשובה:

האם הרבה אלגברה לאחר החלת להגביל את ההגדרה כדי למצוא את המדרון ב # x = 3 # J #13#.

הסבר:

הגדרת המגבלה של הנגזר היא:

# f (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

אם נעריך את המגבלה הזו # 3x ^ 2-5x + 2 #, אנו מקבלים ביטוי עבור נגזר של פונקציה זו. הנגזרת היא פשוט המדרון של הקו המשיק בנקודה מסוימת; כך להעריך את נגזרת ב # x = 3 # ייתן לנו את השיפוע של הקו המשיק ב # x = 3 #.

עם זאת, בואו נתחיל:

(x + h) + 2 (3x ^ 2-5x + 2)) / h #

(x) 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #

+ (2x + 2) + 6hx + 3h ^ 2-ביטול (5x) -5h + ביטול (2) -cancel (3x ^ 2) + ביטול (5x)) -cancel (2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #

# (x) = lim_ (h-> 0) (ביטול (h) (6x + 3h-5)) / ביטול (h) #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #

הערכת מגבלה זו ב # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #

עכשיו שיש לנו את הנגזרת, אנחנו רק צריכים לחבר # x = 3 # למצוא את שיפוע הקו הממשי:

#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #

תשובה:

עיין בסעיף הסבר למטה אם המורה / ספר הלימוד שלך משתמש #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #

הסבר:

כמה מצגות של שימוש חצץ, עבור defintion של המדרון של הקו משיק את הגרף של #f (x) # בנקודה שבה # x = a # J #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # ובלבד שקיימת גבול.

(לדוגמה, המהדורה השמינית של ג'יימס סטיוארט חשבון עמ '106. בעמוד 107, הוא נותן את המקבילה #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)

עם הגדרה זו, המדרון של הקו המשיק אל הגרף של #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # בנקודה שבה # x = 3 # J

(3) x (3) x (3) x (xrarr3) (x) 3 (x) +2) / (x-3) #

# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #

# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #

לתשומת לבך, למגבלה זו יש טופס בלתי מוגדר #0/0# כי #3# הוא אפס של הפולינום של המונה.

מאז #3# הוא אפס, אנחנו יודעים את זה # x-3 # הוא גורם. אז אנחנו יכולים גורם, לצמצם ולנסות להעריך שוב.

(x-3) (x-3)) (3x + 4)) / ביטול (x-3) # #

# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.

הגבול הוא #13#, כך המדרון של הקו המשיק ב # x = 3 # J #13#.