איך אני מוצא את אינטגרל אינטל (x ^ 2 * חטא (פיקס)) dx?

באמצעות שילוב על ידי חלקים,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (1 / pi) x ^ 2cospix + (2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

זכור כי אינטגרציה על ידי חלקים משתמשת בנוסחה:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

אשר מבוסס על הנחה של כלל המוצר עבור נגזרים:

#uv = vdu + udv #

כדי להשתמש בנוסחה זו, עלינו להחליט איזה מונח יהיה # u #, ואשר יהיה # dv #. דרך שימושית להבין איזה מונח הולך לאן הוא אני מאחר שיטה.

הפוך טריג

לוגריתמים

אלגברה

טריג

אקספוננציאלים

זה נותן לך סדר עדיפות של איזה מונח משמש "# u #", אז מה שנשאר הופך להיות שלנו # dv #. הפונקציה שלנו מכילה # x ^ 2 # א # סינפיקס #, ולכן שיטת ה- ILATE מספרת לנו זאת # x ^ 2 # צריך לשמש שלנו # u #, שכן הוא אלגברי ומעלה ברשימה מאשר # סינפיקס #, שהוא trig.

עכשיו יש לנו:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

הפריטים הבאים שאנו זקוקים להם בנוסחה הם "# du #ו "# #", אשר אנו מקבלים על ידי מציאת נגזרת של"# u #"ואת האינטגרל של"# dv #'.

הנגזר מתקבל באמצעות כלל הכוח:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

עבור אינטגרל, אנו יכולים להשתמש החלפה.

באמצעות #w = pix #, אנחנו בסופו של דבר עם # (- 1 / pi) cosw #

עכשיו יש לנו:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

חיבור הנוסחה המקורית שלנו Integration by Parts, יש לנו:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

עכשיו אנחנו נשארים עם אינטגרל נוסף שבו אנו חייבים להשתמש אינטגרציה על ידי חלקים פעם נוספת כדי לפתור. על ידי משיכת #2# מתוך האינטגרל, אנחנו נשארים עם #u = x #, #dv = cospix #. על ידי עובר את אותו תהליך של לפני, אנחנו מקבלים:

#intxcospixxx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

אינטגרל אחרון זה אנו יכולים לפתור עם סבב סופי של תחליף, נותן לנו:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

הצבת כל מה שמצאנו יחד, עכשיו יש לנו:

# (1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) 1 / pi xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix # #

עכשיו אנחנו יכולים לפשט את התשלילים ואת סוגריים כדי לקבל את התשובה הסופית שלנו:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (1 / pi) x ^ 2cospix + (2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

המפתח הוא לזכור כי אתה בסופו של דבר עם שרשרת של מונחים מרובים להיות הוספה או חיסור יחד. אתה ברציפות פיצול אינטגרל לחלקים קטנים יותר לניהול, כי אתה חייב לעקוב אחר התשובה הסופית.