כיצד לפתור 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

תשובה:

אנחנו יכולים לפתור את השאלה בצורה גרפית.

הסבר:

המשוואה הנתונה # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # ניתן לכתוב מחדש כמו

# 2e ^ (x) = 7-2x #

עכשיו לקחת את שני אלה כפונקציות נפרדות

#f (x) = 2e ^ (x) # ו #g (x) = 7-2x # ואת העלילה הגרף שלהם; שלהם נקודת צומת יהיה ה פתרון למשוואה הנתונה # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

זה מוצג להלן:

תשובה:

זה אחד מעבר לאלגברה בתיכון, והדרך הטובה ביותר לפתור את זה היא לשאול וולפרם אלפא מי עונה #x כ.94 #.

הסבר:

לפתור

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

שאלות כאלה הן בדרך כלל קשה, והתשובה תלויה אם אתה באלגברה בתיכון או עמוק יותר לתוך מתמטיקה.

בתיכון, הגישה הטובה ביותר היא פשוט לנסות כמה מספרים קטנים ולראות אם הם עובדים. (זה עובד עבור רבים, רבים מתמטיקה בתיכון בעיות, fyi.) יש באמת רק אחד הגיוני #איקס# זה עושה # e ^ x # רציונלי, # x = 0 #, וזה לא פתרון. אז ניחוש לא יעבוד כאן.

אם קירוב הוא מספיק טוב, אנחנו יכולים גרף זה, או גרף # 2e ^ x # ו # 7-2x # ולראות איפה הם נפגשים.

לא משנה מה הרמה שלך, כאשר מתמודד עם כזה קשה כזה, זה בדרך כלל מהלך טוב לשאול את המומחה זמין, אשר וולפרם אלפא.

אנו רואים אלפא נתן לנו תשובה משוערת, די קרוב 1, ואפילו נוסחה באמצעות W (x), אשר יומן למברט המוצר, אשר בדרך כלל לא חלק מתמטיקה בתיכון.

אין תשובה באמצעות פונקציות קבועות ופעולות שאנחנו יודעים על אלגברה בבית הספר התיכון. זה בדרך כלל נכון כאשר אנו מוסיפים מונח עם #איקס# במעריך למקום שבו #איקס# מופיע ככוח ליניארי או גבוה יותר.

זה הסוף של התשובה עבור רוב התלמידים. אבל אנחנו יכולים ללכת עמוק יותר. יומן המוצרים הוא פונקציה מעניינת.שקול את המשוואה

#k = xe ^ x #

בצד ימין היא פונקציה הגוברת של #איקס#, כך שזה יעבור # k # במוקדם או במאוחר. אם ניקח את היומן לא באמת נגיע לשום מקום: #ln k = ln x + x #.

אנחנו צריכים משהו כמו יומן, אבל לא אחד זה ההופך # e ^ x #. זה צריך להיות הפוך של # xe ^ x #. זה נקרא יומן מוצר או הפונקציה Lambert W, המוגדר כ:

#k = xe ^ x # יש פתרון אמיתי #x = W (k) #.

נגביל את תשומת הלב שלנו לריאלים. זה כיף לנסות לגלות # W '#s. היסוד הבסיסי שאנו מקבלים הוא

#W (xe ^ x) = x #

בואו נניח # x = ye ^ y # ב הבא #W (x) = y #. עכשיו

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

זה מגניב. מה דעתך?

# e ^ {w (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

לוקח יומנים, # W (x) = ln x - l w (X) #

# ln W (x) = ln x - w (x) quad # בהנחה שיומנים מוגדרים

עכשיו אתה רואה איך זה עובד עם W, לראות אם אתה יכול להשתמש בו כדי לפתור את המשוואה, או לבדוק את הפתרון של אלפא

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #