הכוח הרביעי של ההבדל המשותף של התקדמות אריתמטית הוא עם ערכים שלמים מתווסף למוצר של כל ארבעה תנאים רצופים של זה. להוכיח כי הסכום המתקבל הוא הריבוע של מספר שלם?

תן את ההבדל המשותף של AP של מספרים שלמים להיות # 2d #.

כל ארבעה תנאים רצופים של התקדמות עשוי להיות מיוצג כמו # a-3d, a-d, + d ו- + 3d #, איפה # a # הוא מספר שלם.

אז את סכום המוצרים של ארבעה תנאים אלה ואת הכוח הרביעי של ההבדל המשותף # (2d) ^ 4 # יהיה

# + צבע (כחול) (a-d) (a + d) (a + d) (a + d) (+ +)) + צבע (אדום) (2d) ^ 4) #

# צבע (אדום) (# 16d ^ 4) # # (+ 2d ^ 2)

# = צבע (כחול) (a ^ 4d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + צבע (אדום) (16d ^ 4) #

# = color (ירוק) ((a ^ 4d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = color (ירוק) ((^ ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, שהוא ריבוע מושלם.