להמיר את כל המספרים המורכבים טופס trigonometric ולאחר מכן לפשט את הביטוי? כתוב את התשובה בצורה סטנדרטית.

תשובה:

# (2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

הסבר:

בתשובה אחרת לשאלה זו ניחשתי שיש כאן טעות דפוס בשאלה זו #-3# היה אמור להיות # -sqrt {3} #. הבטיחו לי כי אין זה כך, שהשאלה נכונה כפי שנכתבה.

לא אחזור על האופן שבו קבענו

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

אבל עכשיו אנחנו צריכים להמיר # -3 + i # טופס טריגונומטרי. אנחנו יכולים לעשות את זה, אבל מכיוון שזה לא אחד המשולשים המועדפים של טריג, זה קצת יותר מביך.

# | -3 + i | = = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

אנחנו ברבע השני והערך העיקרי של הטנגנס ההפוך הוא הרביע הרביעי.

# זווית (-3 + i) = טקסט {Arc} טקסט {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# 3 + i = sqrt {10} text {cis} (טקסט {Arc} טקסט {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) # #

דה מוברה לא עובד טוב מאוד על טופס כזה, אנחנו מקבלים

# (3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (טקסט {Arc} טקסט {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) # #

אבל אנחנו לא תקועים. מאז המעריך הוא רק #3# אנו יכולים לעשות זאת עם נוסחאות זווית משולשת. בואו נקרא את הזווית הקבועה שמצאנו

#theta = זווית (-3 + i) #

מאת דה מוברה, # 3 = 3 = i = 3 = (= 3) = (= 3) =

אנחנו יודעים

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

# 3 (3 thta) = 3/3 / sqrt {10} = (9 sqrt (10)) 50 #

# 3 (3 thin) = 3 חטא theta - 4 חטא ^ 3 תטא = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

זה נראה כמו עבודה הרבה יותר מאשר רק cubing # (- 3 + i): #

# (3 + i) (+ 3 + i) (+ 3 + i) = (+ 3 i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

בסדר, בוא נעשה את הבעיה:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {{sqrt {3} + i} ^ {10}} #

# {3 {2 {2} {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {2 טקסט {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# {^ ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis {5 cdot 45 ^ circ}} / {text text {cis} (10 cdot 30 ^ circ}} (- 3 + i) ^ 3 #

# (טקסט cis} (300 ^ circ)} (= + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) # #

אוף, זה אף פעם לא נגמר. אנחנו מקבלים

# cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -qqrt {2}) #

#sin (= 75) = (= חטא 45 = 30 + cos 45 חטא 30 = = = sqrt = 2 = / sqrt {3} / 2 + 1/2) = = 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {{sqrt {3} + i} ^ {10}} #

# (= "sqrt" = 2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 (sqrt {6} -qqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i)

# 11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #