תשובה:
אליפסה
הסבר:
חידות ניתן לייצג כמו
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> c = 0 #
איפה #p = {x, y} # ו
#M = (m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
עבור חרוטים #m_ {12} = m_ {21} # לאחר מכן #M# eigenvalues תמיד אמיתי כי המטריצה היא סימטרית.
הפולינום האופייני הוא
#m (lambda) = lambda ^ 2 (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
בהתאם השורשים שלהם, חרוט יכול להיות מסווג
1) שווה --- מעגל
2) סימן זהה וערכים מוחלטים שונים --- אליפסה
3) סימנים שונים --- היפרבולה
4) שורש ריק אחד --- פרבולה
במקרה הנוכחי יש לנו
#M = ((4,0), (0,8)) #
עם פולינום אופייני
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
עם שורשים #{4,8}# אז יש לנו אליפסה.
להיות אליפסה יש ייצוג קנוני עבור זה
# (x-x_0) / a) ^ 2 + (y-y_0) / b ^ ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # ניתן לקבוע כדלקמן
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28 - (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y- y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 עבור x x RR #
נתינה
# (+28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0) (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
פתרון שאנו מקבלים
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0}
לכן
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1}
