מהו eigenfactector? + דוגמה

תשובה:

אם וקטור # # ו טרנספורמציה ליניארית של מרחב וקטור # A # הם כאלה #A (v) = k * v # (שם קבוע # k # נקרא eigenvalue), # # נקרא eigen של טרנספורמציה לינארית # A #.

הסבר:

תארו לעצמכם טרנספורמציה לינארית # A # של מתיחה כל וקטורים על ידי גורם של #2# בחלל התלת-ממדי. כל וקטור # # יהיה להפוך # 2v #. לכן, עבור טרנספורמציה זו כל וקטורים 12 ואף סרטרו עם eigenvalue of #2#.

שקול סיבוב של שטח תלת מימדי סביב Z- ציר בזווית של # 90 ^ o #. ברור, כל וקטורים למעט אלה לאורך ציר ה- Z ישתנה בכיוון, ולכן, לא יכול להיות 12 ואף סרטרו. אבל אלה וקטורים לאורך ציר ה- Z (הקואורדינטות שלהם הם של הטופס # 0,0, z #) ישמרו על הכיוון והאורך שלהם, ולכן הם 12 ואף סרטרו עם eigenvalue of #1#.

לבסוף, לשקול סיבוב על ידי # 180 ^ o # בחלל תלת-מימדי סביב ציר ה- Z. כמו בעבר, כל וקטורים Z ציר ארוך לא ישתנה, אז הם 12 ואף סרטרו עם eigenvalue of #1#.

בנוסף, כל הווקטורים במישור XY (הקואורדינטות שלהם הן של הטופס # x, y, 0 #) תשנה את הכיוון ההפוך, תוך שמירה על אורך. לכן, הם גם 12 ואף סרטרו עם eigenvalues of #-1#.

כל שינוי ליניארי של מרחב וקטור יכול לבוא לידי ביטוי ככפל של וקטור על ידי מטריצה. לדוגמה, הדוגמה הראשונה של מתיחה מתואר ככפל על ידי מטריצה # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

מטריצה כזו, מוכפלת בכל וקטור # v = {x, y, z} # יפיק # A * v = {2x, 2y, 2z} #

זה כמובן שווה # 2 * #. אז יש לנו

# A * v = 2 * #, אשר מוכיח כי כל וקטור # # הוא eigen עם eigenvalue #2#.

הדוגמה השנייה (סיבוב על ידי # 90 ^ o # סביב Z- ציר) ניתן לתאר כפל על ידי מטריצה # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

מטריצה כזו, מוכפלת בכל וקטור # v = {x, y, z} # יפיק # A * v = {- y, x, z} #, אשר יכול להיות באותו כיוון כמו וקטור המקורי # v = {x, y, z} # רק אם # x = y = 0 #, כלומר אם הווקטור המקורי מופנה לאורך ציר ה- Z.