תן P (x_1, y_1) להיות נקודה ולתת לי את הקו עם גרזן משוואה + על ידי + C = 0.הצג את המרחק d מ P-> l ניתן על ידי: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? מצא את המרחק d של נקודת P (6,7) מן הקו l עם משוואה 3x + 4y = 11?

תשובה:

#d = 7 #

הסבר:

תן # l-> x + b y + c = 0 # ו # p_1 = (x_1, y_1) # נקודה לא # l #.

נניח זאת #b ne 0 # וקורא # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # לאחר החלפת #y = - (x + c) / b # לתוך # d ^ 2 # יש לנו

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((+ a x) / b + y_1) ^ 2 #. השלב הבא הוא למצוא את # d ^ 2 # מינימום לגבי #איקס# כך נמצא #איקס# כך ש

# (d) (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. זה occours עבור

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # # עכשיו, החלפת ערך זה לתוך # d ^ 2 # השגנו

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # לכן

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

עכשיו נתון

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # ו # p_1 = (6,7) # לאחר מכן

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #