נניח ש- g היא פונקציה שהנגזרת שלה היא g (x) = 3x ^ 2 + 1 האם G הולך וגדל, יורד או לא ב- x = 0?

תשובה:

הגדלת

הסבר:

#g '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 #, #A ##איקס## in ## RR # לכן # גרם # גדל ב # RR # וכך גם ב # x_0 = 0 #

גישה אחרת, #g '(x) = 3x ^ 2 + 1 # #<=>#

# (g (x)) '= (x ^ 3 + x)' # #<=>#

# גרם #, # x ^ 3 + x # הם רציפים ב # RR # ויש להם נגזרות שוות, ולכן יש # c ## in ## RR # עם

#g (x) = x ^ 3 + x + c #,

# c ## in ## RR #

אמור # x_1 #,# x_2 ## in ## RR # עם # x_1 <## x_2 # #(1)#

# x_1 <## x_2 # #=># # x_1 ^ 3 <## x_2 ^ 3 # #=># # x_1 ^ 3 + c <## x_2 ^ 3 + c # #(2)#

מ #(1)+(2)#

# x_1 ^ 3 + x_1 + c <## x_2 ^ 3 + x_2 + c # #<=>#

#g (x_1) <##g (x_2) # #-># # גרם # הגדלת # RR # וכך # x_0 = 0 ## in ## RR #