כיצד ניתן למצוא את ה- int אינטגרל (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

תהליך:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

אינטגרל זה יחייב אינטגרציה על ידי חלקים. זכור את הנוסחה:

#int u dv = uv - int v du #

אנו נניח #u = x #, ו #dv = e ^ (- x) dx #.

לכן, #du = dx #. מציאת # # ידרוש # u #-החלפה; אני אשתמש במכתב # q # במקום # u # שכן אנו כבר משתמשים # u # ב אינטגרציה על ידי חלקי הנוסחה.

#v = int e ^ (- x) dx #

תן #q = -x #.

לפיכך, #dq = -dx #

אנו נכתוב מחדש את האינטגרל, תוך הוספת שני תשלילים שיתאימו # dq #:

#v = -int -e ^ (x) dx #

נכתב במונחים של # q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

לכן,

#v = -e ^ (q) #

תחליף עבור # q # נותן לנו:

#v = -e ^ (- x) #

עכשיו, במבט לאחור על הנוסחה של IBP, יש לנו כל מה שאנחנו צריכים כדי להתחיל להחליף:

#int x x ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (x) dx #

פשט, וביטל את שני התשלילים:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

זה אינטגרל השני צריך להיות קל לפתור - זה שווה # #, שאותו כבר מצאנו. פשוט תחליף, אבל זכור להוסיף את קבוע של אינטגרציה:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #