באמצעות ההגדרה של ההתכנסות, איך אתה להוכיח כי רצף {2 ^ -n} מתכנס מ n = 1 עד אינסוף?

תשובה:

השתמש במאפיינים של פונקציה מעריכי כדי לקבוע N כגון # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # לכל # m, n> N #

הסבר:

הגדרת ההתכנסות קובעת כי # {a_n} # מתכנס אם:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" a_n-a_m | <epsilon #

אז, נתון #epson> 0 # לקחת #N> log_2 (1 / epsilon) # ו # m, n> N # עם #m <n #

כפי ש #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # לכן # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

לא היה # 2 ^ x # הוא תמיד חיובי, # (1 - 2 ^ (m-n)) <1 #, לכן

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

וכמו # 2 ^ (- x) # הוא בהחלט ירידה ו #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) # #

אבל:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

לכן:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.