כיצד ניתן לפתור את המערכת x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ו- x-3y = 3?

תשובה:

ישנם שני פתרונות למערכת זו: הנקודות #(3,0)# ו #(-12/5, -9/5)#.

הסבר:

זוהי מערכת מעניינת של משוואות בעיה משום שהיא מניבה יותר מפתרון אחד לכל משתנה.

למה זה קורה משהו שאנחנו יכולים לנתח עכשיו. המשוואה הראשונה, היא צורה סטנדרטית למעגל עם רדיוס #3#. השני הוא משוואה קצת מבולגן עבור קו. ניקה, זה ייראה כך:

#y = 1/3 x - 1 #

אז באופן טבעי, אם ניקח בחשבון כי פתרון למערכת זו תהיה נקודה שבה הקו ואת המעגל מצטלבים, אנחנו לא צריכים להיות מופתעים ללמוד כי יהיו שני פתרונות. אחד כאשר הקו נכנס למעגל, ועוד כאשר הוא משאיר. ראה תרשים זה:

גרף {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) (1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

ראשית, אנו מתחילים במניפולציה של המשוואה השנייה:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

אנחנו יכולים להכניס את זה ישירות לתוך המשוואה הראשונה לפתור עבור # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

ברור שלמשוואה הזאת יש שני פתרונות. אחד בשביל #y = 0 # ועוד עבור # 9 + 5y = 0 # אשר אומר #y = -9 / 5 #.

עכשיו אנחנו יכולים לפתור עבור #איקס# בכל אחד מהם # y # ערכים.

אם # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

אם #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

אז שני הפתרונות שלנו הם הנקודות: #(3,0)# ו #(-12/5, -9/5)#. אם אתה מסתכל אחורה אל התרשים, אתה יכול לראות כי אלה בבירור תואמים את שתי הנקודות שבהן הקו חצה את המעגל.