נניח ש - X הוא משתנה אקראי מתמשך אשר פונקצית צפיפות ההסתברות שלו ניתנת על ידי: f (x) = k (2x - x ^ 2) עבור 0 <x <2; 0 עבור כל x אחר. מהו הערך של k, P (X> 1), E (X) ו Var (X)?

תשובה:

# k = 3/4 #

#P (x> 1) = 1/2 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 1/5 #

הסבר:

למצוא # k #, אנו משתמשים # int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#k (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## k = 3/4 #

לחשב #P (x> 1) #, אנו משתמשים #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

לחשב #E (X) #

# (X) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx #

# 3/4 / 4-16 / 4 = 3/4 * 16/12 = 1 # 3/4 /

לחשב #V (X) #

# X = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 #

# X (2) = 2x ^ 3-x ^ 4) dx # (x ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4)

# 3/4 2x ^ 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #