הצג את זה int_0 ^ 1xinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

תשובה:

ראה הסבר

הסבר:

אנחנו רוצים להראות

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

זהו אינטגרל "מכוער" למדי, ולכן הגישה שלנו לא תהיה לפתור את זה אינטגרל, אבל להשוות אותו אינטגרל "נחמד"

אנחנו עכשיו עבור כל המספרים הריאליים החיוביים #color (אדום) (חטא (x) <= x) #

לכן, הערך של integrand יהיה גם גדול יותר, עבור כל המספרים הריאליים החיוביים, אם אנחנו תחליף # x = sin (x) #, אז אם אנחנו יכולים להראות

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

אז גם ההצהרה הראשונה שלנו צריכה להיות נכונה

אינטגרל חדש הוא בעיה תחליף פשוטה

# # int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

השלב האחרון הוא לשים לב לכך #sin (x) = x => x = 0 #

לכן אנו יכולים להסיק

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #