מה הם extrema המקומי של f (x) = xlnx-xe ^ x?

תשובה:

לפונקציה זו אין אקסטרמה מקומית.

הסבר:

#f (x) = xlnx-xe ^ x מרמז על #

# x (x) שווה f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

ל #איקס# להיות קיצונית מקומית, #g (x) # חייב להיות אפס. כעת נראה כי זה לא קורה עבור כל ערך אמיתי של #איקס#.

שים לב ש

# x ^ (x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {''} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

לכן #g ^ '(x) # ייעלם אם

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

זוהי משוואה טרנסצנדנטלית אשר ניתן לפתור באופן מספרי. מאז #g ^ '(0) = + oo # ו #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, השורש נמצא בין 0 ל -1 ומאז #g ^ {''} (0) <0 # עבור כל חיובי #איקס#, זהו השורש היחיד והוא מתאים למקסימום #g (x) #

זה די קל לפתור את המשוואה בצורה מספרית, וזה מראה את זה #g (x) # יש מקסימום ב # x = 0.3152 # ואת הערך המרבי הוא #g (0.3152) = -1.957 #. מאז הערך המרבי של #g (x) # הוא שלילי, אין ערך #איקס# באיזה #g (x) # נעלם.

זה עשוי להיות מאלף להסתכל על זה בצורה גרפית:

גרפית {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

כפי שניתן לראות מהתרשים לעיל, הפונקציה #f (x) # למעשה יש מקסימום ב # x = 0 # - אבל זה לא מקסימום מקומי. התרשים שלהלן מראה זאת #g (x) equiv f ^ '(x) # אף פעם לא לוקח את הערך אפס.

גרף {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}