מה הם נקודות אקסטרמה ואוכף של f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

תשובה:

הסבר:

יש לנו:

# (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

שלב 2 - זיהוי נקודות קריטיות

נקודה קריטית מתרחשת בפתרון סימולטני של

# f_x = f_y = 0 iff (חלקו החלקי) / (x החלקי) = (חלקיק) / (y חלקי) = 0 #

כלומר, כאשר:

# (x + 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

פתרון A ו- B בו זמנית, אנו מקבלים פתרון אחד:

# x = y = 1 #

אז אנחנו יכולים להסיק כי יש נקודה קריטית אחת:

# (1,1) #

שלב 3 - לסווג את נקודות קריטיות

על מנת לסווג את הנקודות הקריטיות אנו מבצעים בדיקה הדומה לזו של חישוב אחד המשתנה תוך שימוש בנגזרים החלקיים השני ובמטריקס הסיאן.

# דלתא = H f (x, y) = | (f x (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy) | = | (חלקית ^ 2)), (חלקית ^ 2 f) / (חלקי חלקי x), (חלקי ^ 2 f)) / (חלקי y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

אז בהתאם לערך של # דלתא #:

# (:) (0: 0, 0), "אם יש" f_ (xx) 0), "ו" מינימלי אם "f_ (xx) 0), (דלתא <0)), (דלתא = 0, "ניתוח נוסף הוא הכרחי"):} #

באמצעות פקודות מאקרו מותאמות אישית של Excel, ערכי הפונקציה יחד עם ערכי הנגזרים החלקיים מחושבים כדלקמן: