איך אתה מוצא את הקודקוד של משוואה ריבועית?

תשובה:

השתמש בנוסחה # -b / (2a) # עבור x קואורדינטה ולאחר מכן תקע אותו כדי למצוא את y.

הסבר:

משוואה ריבועית כתובה # ax ^ 2 + bx + c # בצורתו הרגילה. ואת קודקוד ניתן למצוא באמצעות הנוסחה # -b / (2a) #.

לדוגמה, נניח שהבעיה שלנו היא למצוא את הקודקוד (x, y) של המשוואה הריבועית # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) להעריך את ערכי, b ו- C. בדוגמה זו, = 1, b = 2 ו- c = -3

2) חבר את הערכים לתוך הנוסחה # -b / (2a) #. עבור דוגמה זו, תקבל #-2/(2*1)# אשר ניתן לפשט ל -1.

3) אתה פשוט למצוא את x קואורדינטה של קודקוד שלך! עכשיו תקע -1 עבור x במשוואה כדי לברר את הקואורדינטת y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) לאחר לפשט את המשוואה לעיל אתה מקבל: 1-2-3 אשר שווה ל -4.

6) התשובה הסופית שלך היא (-1, -4)!

מקווה שזה עזר.

תשובה:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # יש קודקוד ב # (- b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

הסבר:

קחו ביטוי ריבועי כללי:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

ואת המשוואה המשויכת אליו #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

עם שורשים, # אלפא # ו # beta #.

אנחנו יודעים (על ידי סימטריה - ראה להלן הוכחה) כי קודקוד (או מקסימום או מינימום) הוא אמצע נקודת השורש, #איקס#קודקוד של קודקוד הוא:

# x_1 = (אלפא + ביתא) / 2 #

עם זאת, זוכר את המאפיינים למד היטב:

# =: ("סכום של שורשים", = אלפא + ביתא, = -b / a), ("מוצר של שורשים", = אלפא ביתא, = c / a):} #

לכן:

# x_1 = - (b) / (2a) #

נותנים לנו:

# (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

לכן:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # יש קודקוד ב # (- b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

הוכחה של נקודת האמצע:

אם יש לנו

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

ואז, הבחנה wrt #איקס#:

# f '(x) = 2ax + b #

בנקודה קריטית, הנגזרת הראשונה, #f '(x) # נעלם, הדורש:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED