תשובה:
#3#
הסבר:
תן
# 7 = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
שבו אנו מגבילים את הפתרון שלנו להיות חיובי שכן אנו לוקחים רק את השורש הריבועי חיובי כלומר. #x> = 0 #. ריבועים משני הצדדים יש לנו
# 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# 7> x = 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
איפה הפעם אנחנו מאלצים את יד שמאל להיות חיובי, שכן אנחנו רק רוצים את השורש הריבועי חיובי כלומר.
# x ^ 2-7> 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
שבו יש לנו לבטל את האפשרות #x <= - sqrt (7) # באמצעות האילוצים הראשונים שלנו.
שוב יושבים בשני הצדדים שיש לנו
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# 7 (x = 2-7) ^ 2-7 = = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
הביטוי בשורש הריבועי החוזר הוא הביטוי המקורי עבור #איקס#, ולכן
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
או
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
פתרונות הניסוי של משוואה זו הם # x = -2 # ו # x = + 3 # אשר גורמת לגורמים הבאים
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
באמצעות נוסחה ריבועית על הגורם השלישי # (x ^ 2 + x-7) = 0 # נותן לנו שני שורשים נוספים:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "ו-" -3.19 #
ארבעת שורשיו של הפולינום הם אפוא #-3.19…, -2, 2.19…, # ו #3#. רק אחד מערכים אלה מספק את האילוצים שלנו #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, ולכן
# x = 3 #
תשובה:
דרך נוספת
הסבר:
אני רוצה לדון בדרך מסובכת כדי לקבל פתרון במבט אחד על הבעיה של שורשים מרובעים חוזרים כמו הבאה
# מ"ר (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
איפה # r # שייך לסדרה הבאה
#3,7,13,21,31…………#, המונח הכללי של אשר ניתנת על ידי
# m ^ 2-m + 1 # איפה # m epsilon # ו #m> 1 #
טריק
אם מחסרים 1 מהמספר הנתון # m ^ 2-m + 1 # המספר המתקבל הופך # m ^ 2-m # אשר #m (m-1) # אשר אינו אלא תוצר של שני מספרים רצופים גדול אחד משני אלה יהיה הפתרון הייחודי של הבעיה.
כאשר r = # m ^ 2-m + 1 # גורם # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # ו m הוא התשובה
כאשר r = 3 הגורם של (3-1) = 2 = 1.2 ו -2 הוא התשובה
כאשר r = 7 גורם של (7-1) = 6 = 2.3 ו 3 היא התשובה
וכן הלאה…….
הסבר
לוקח
# r = sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
מתיישרים את שני הצדדים
# r ^ sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
שוב מישש את שני הצדדים
# r = sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
לשים r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2 (m ^ 2-m + 1)) ^ 2 (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
אם אנחנו שמים x = m ב LHS של משוואה זו LHS הופך
LHS =
מס '2 (m ^ 2-m + 1)) ^ 2 (m ^ 2-m + 1) + m #
# (ביטול) (m ^ 2) - ביטול (m ^ 2) + m-1)) ^ 2 (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2 (m-1) ^ 2 = 0 #
המשוואה מרוצה.
ומכאן התשובה
בוא נשים
# x = sqrt (7 + sqrt (7 - sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
אנחנו יכולים לראות את זה בקלות
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
אז בואו לפתור את המשוואה:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
אין זו משוואה טריוויאלית שיש לפתור. אחד האנשים שענו על השאלה התייחס לפתרון 3. אם תנסו את זה, אתם תראו את זה נכון.
