איזה מהמשפטים הבאים יש את המספר המרבי של שורשים אמיתיים?

תשובה:

# x ^ 2-3 ABS (x) +2 = 0 # עם #4# שורשים אמיתיים.

הסבר:

שים לב כי שורשי:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

הם תת-קבוצה של איחוד שורשי שתי המשוואות:

# {ax = 2 + bx + c = 0), (ax = 2-bx + c = 0):} #

שים לב שאם אחד משתי המשוואות האלה יש זוג שורשים אמיתיים אז גם השני, שכן יש להם את אותו אפליה:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

בנוסף, שים לב שאם #א ב ג# לכולם יש את אותו סימן אז # ax ^ 2 + b abs (x) + c # תמיד לקחת ערכים של סימן זה כאשר #איקס# אמיתי. כך בדוגמאות שלנו, מאז # a = 1 #, אנו יכולים מיד לציין כי:

# x ^ 2 + 3 ABS (x) +2> = 2 #

אז אין אפסים.

הבה נבחן את שלוש המשוואות האחרות בתורן:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# (0 = x = 2-x-2 = (x-2) (x + 1) = => x ב- {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x ב {-2, 1}): # #

נסו כל אחד מהם, אנו מוצאים פתרונות #x ב- {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 ABS (x) +2 = 0 #

# (0 = x = 2-3x + 2 = x-1) x-2) = = x ב- {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) = = x ב- {-1, -2}): # #

נסו כל אחד מהם, אנו מוצאים את כל הפתרונות של המשוואה המקורית, כלומר. #x ב- {-2, -1, 1, 2} #

שיטה אלטרנטיבית

הערה כי השורשים האמיתיים של # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (איפה #c! = 0 #) הם שורשים אמיתיים של ממש # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

אז כדי למצוא איזה משוואות נתון יש את השורשים האמיתיים ביותר הוא שווה למציאת אשר של משוואות ריבועיות רגילות המקביל יש השורשים האמיתיים ביותר חיובי.

משוואה ריבועית עם שני שורשים אמיתיים חיוביים יש סימנים בתבנית #+ - +# או #- + -#. בדוגמה שלנו הסימן הראשון הוא תמיד חיובי.

של הדוגמאות הנתונות, רק השני והשלישי יש מקדמים בתבנית #+ - +#.

אנחנו יכולים הנחה את המשוואה השנייה # x ^ 2-2 ABS (x) + 3 = 0 # מאחר שהמפלה שלה שלילית, אך עבור המשוואה השלישית אנו מוצאים:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

יש שני שורשים אמיתיים חיוביים, מניב #4# שורשי המשוואה # x ^ 2-3 ABS (x) +2 = 0 #