תשובה:
מתכנס # 1 + i # (על מחשבון שלי Ti-83 גרף)
הסבר:
תן # 2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} # #
ראשית, בהנחה שסדרה אינסופית זו מתכנסת (כלומר, בהנחה ש- S קיים ולוקח את הערך של מספר מורכב)
# 2 + 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2} sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# 2 + 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# fracc {2 + 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
ואם אתה פותר עבור S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
וליישם את הנוסחה הריבועית שתקבל:
# # = Frac {2} pm sqr {4}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1:00 pm #
בדרך כלל הפונקציה שורש מרובע לוקח את הערך החיובי ובכך # S = 1 + i #
לכן, אם זה מתכנס אז זה חייב להתכנס # 1 + i #
עכשיו כל מה שאתה צריך לעשות זה להוכיח כי הוא מתכנס או אם אתה עצלן כמוני אז אתה יכול לחבר # sqrt {-2} # למחשבון שיכול להתמודד עם מספרים דמיוניים ולהשתמש ביחס של הישנות:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
חזרתי על זה פעמים רבות על Ti-83 ומצאתי כי הוא עושה להתקרב למשל אחרי חזרתי על זה איפשהו כמו 20 פעמים קיבלתי כ
# 1.000694478 + 1.001394137i #
קירוב די טוב
