איך אתה מוצא את extrema עבור g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

תשובה:

#g (x) # אין מקסימום מינימום עולמי ומקומי # x = -1 #

הסבר:

שים לב ש:

# 1 + x = 2 + 2 x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

אז את הפונקציה

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) # #

מוגדר לכל #x ב- RR #.

חוץ מזה #f (y) = sqrty # היא פונקציית מונוטוני הגדלת, אז כל קיצוניים עבור #g (x) # הוא גם קיצוני עבור:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

אבל זה פולינום סדר שני עם מקדם חיובי מוביל, ולכן אין לה מקסימום מינימום מקומי אחד.

מ #(1)# אנו יכולים לראות את זה בקלות כמו:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

you

# x + 1 = 0 #

רק כאשר # x = -1 #, לאחר מכן:

#f (x)> = 4 #

ו

#f (x) = 4 #

רק בשביל # x = -1 #.

כתוצאה מכך:

#g (x)> = 2 #

you

#g (x) = 2 #

רק בשביל # x = -1 #.

אנו יכולים להסיק זאת #g (x) # אין מקסימום מינימום עולמי ומקומי # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) # #, #איקס## in ## RR #

אנחנו צריכים # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

#A ##איקס## in ## RR #:

# ('x' = (= x ^ 2 + 2x + 5) ') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• ל #x <-1 # יש לנו #g '(x) <0 # לכן # גרם # הוא בהחלט ירידה ב # (- oo, -1 #

• ל #x> ##-1# יש לנו #g '(x)> 0 # לכן # גרם # הוא גדל בהחלט # - 1, + oo #

לפיכך #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, #A ##איקס## in ## RR #

כתוצאה # גרם # יש מינימום העולמי ב # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #