איך מוצאים את האסימפטוטים עבור y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

תשובה:

אנכי

# x = 1 #

# x = 3 #

אופקי

# x = 1 # (לשניהם # + - oo #)

אלכסוני

לא קיים

הסבר:

תן # y = f (x) #

• אנכי

מצא את הגבולות של הפונקציה כפי שהיא נוטה גבולות תחום שלה למעט אינסוף. אם התוצאה שלהם היא אינסופית, מזה #איקס# הקו הוא אסימפטוט. הנה, התחום הוא:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

אז 4 אפשרי אנכיים אנכיים הם:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

אסימפטוטה # x-> 1 ^ - #

(x-1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / 0 ^ - * (- 2)) = #

# / 0 = 2) = 4/0 = + oo # אסימפטוט אנכי עבור # x = 1 #

הערה: עבור # x-1 # מאז #איקס# הוא מעט נמוך מ 1 התוצאה תהיה משהו קצת נמוך מ 0, אז השלט יהיה שלילי, ומכאן הערה #0^-# אשר מאוחר יותר מתרגם סימן שלילי.

אישור על אסימפטוט # x-> 1 ^ + #

(x-1 ^ +) (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / 0 ^ + * (- 2)) = #

# = 0/2 = = 4/0 = -oo # # = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / אושר

אסימפטוטה # x-> 3 ^ - #

(x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / 2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # אסימפטוט אנכי עבור # x = 3 #

אישור על אסימפטוט # x-> 3 ^ + #

(x-> 3 ^ +) (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / 2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # אושר

• אסימפטוטים אופקיים

מצא את שתי הגבולות כמו הפונקציה נוטה # + - oo #

מינוס האינסוף #x -> - oo #

(x-1) (x-1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = #

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (2 + 1 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# (x -> -) (ביטול (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (ביטול (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ (1/2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# אסימפטוט אופקי עבור # y = 1 #

בנוסף לאינסוף #x -> + oo #

(x - + + oo) (x - + + oo) (x - 1) ^ 2 / (x-1) (x-3)) = #

# x - + + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# (x - + + oo) (ביטול (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (ביטול (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# אסימפטוט אופקי עבור # y = 1 #

הערה: זה פשוט קורה כי פונקציה זו יש אופקי משותף עבור שניהם # -oo # ו # + oo #. אתה תמיד צריך לבדוק את שניהם.

• אסימפטוטים אלכסוניים

תחילה עליך למצוא את שתי הגבולות:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

עבור כל אחד מהם, אם מגבלה זו היא מספר ממשי, אז האסימפטוט קיים והמגבלה היא המדרון. ה # y # ליירט של כל אחד הוא הגבול:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

עם זאת, כדי להציל אותנו הצרות, אתה יכול להשתמש בחלק "ידע" פונקציה כדי למנוע זאת. מאז שאנחנו יודעים #f (x) # יש אסימפטוט אופקי עבור שניהם # + - oo # הדרך היחידה להיות בעל עקיפה היא שיש קו אחר #x -> + - oo #. למרות זאת, #f (x) # הוא #1-1# לתפקד כך לא יכול להיות שניים # y # ערכים עבור אחד #איקס#, ולכן השורה השנייה היא בלתי אפשרית, ולכן זה בלתי אפשרי להיות אסימפטוטים אלכסוניים.