מה משמעות משפט הביניים?

תשובה:

זה אומר כי אם פונקציה רציפה (על מרווח # A #) לוקח 2 ערכים מובחנים #f (a) # ו #f (b) # (# a, b # כמובן), אז זה ייקח את כל הערכים בין #f (a) # ו #f (b) #.

הסבר:

כדי לזכור או להבין את זה טוב יותר, בבקשה יודע כי אוצר המילים במתמטיקה משתמשת הרבה תמונות.לדוגמה, אתה יכול בהחלט לדמיין פונקציה הגוברת! זה אותו הדבר, עם ביניים אתה יכול לדמיין משהו בין 2 דברים אחרים, אם אתה יודע למה אני מתכוון. אל תהסס לשאול שאלות אם זה לא ברור!

תשובה:

ניתן לומר כי זה בעצם אומר את המספרים הריאליים אין פערים.

הסבר:

משפט הערך הביניים קובע שאם #f (x) # היא פונקציה מוערך אמיתי כי היא רציפה על מרווח # a, b # ו # y # הוא ערך בין #f (a) # ו #f (b) # אז יש כמה #x ב- a, b # כך ש #f (x) = y #.

ב Bolzano בפרט של משפט אומר שאם #f (x) # היא פונקציה מוערך אמיתי אשר רציפה על המרווח # a, b # ו #f (a) # ו #f (b) # הם שלטים שונים, אז יש כמה #x ב- a, b # כך ש #f (x) = 0 #.

#צבע לבן)()#

שקול את הפונקציה #f (x) = x ^ 2-2 # ואת המרווח #0, 2#.

זוהי פונקציה מוערכת אמיתית אשר רציפה על מרווח (למעשה רציפה בכל מקום).

אנו מוצאים את זה #f (0) = -2 # ו #f (2) = 2 #, כך על ידי משפט ערך ביניים (או יותר ספציפי Bolzano של משפט), יש ערך כלשהו #x ב- 0, 2 # כך ש #f (x) = 0 #.

ערך זה של #איקס# J #sqrt (2) #.

אז אם היינו שוקלים #f (x) # כפונקציה רציונלית מוערכת של מספרים רציונליים, אזי משפט הערך הבינוני לא יחזיק, שכן #sqrt (2) # הוא לא רציונלי, ולכן לא במרווח רציונלי # 0, 2 nq QQ #. במילים אחרות, המספרים הרציונליים # QQ # יש פער ב #sqrt (2) #.

#צבע לבן)()#

הדבר הגדול הוא כי משפט ערך ביניים מחזיקה עבור כל פונקציה רציפה ערך אמיתי. כלומר, אין פערים במספרים הריאליים.