כאשר עושים מכפילי langrage לחישוב 3 ... נניח שכבר מצאתי את הנקודות הקריטיות שלי וקיבלתי ערך ממנו. איך אני יודע אם זה ערך מינימום או מקסימום?

תשובה:

דרך אפשרית אחת היא הסיאן (מבחן הנגזר השני)

הסבר:

בדרך כלל כדי לבדוק אם נקודות קריטיות הן דקות או מקס, אתה בדרך כלל להשתמש במבחן הנגזרת השנייה, אשר מחייב אותך למצוא 4 נגזרים חלקית, בהנחה #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) # #, #f _ {"xy"} (x, y) # #, #f _ {"yx"} (x, y) # #, ו #f _ {"yy"} (x, y) # #

שים לב שאם שניהם #f _ {"xy"} # ו #f _ {"yx"} # הם רציף באזור של עניין, הם יהיו שווים.

ברגע שיש לך את 4 מוגדר, אז אתה יכול להשתמש מטריצה מיוחדת המכונה Hessian למצוא את הקובע של מטריקס זה (אשר, למרבה הפלא, הוא המכונה לעתים קרובות את הסיאן גם), אשר ייתן לך קצת מידע על את מהות הנקודה. לכן, להגדיר את המטריקס הסיאן כמו:

#H = | (f_ {"xx"} צבע (לבן) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} צבע (לבן) (, aa) f_ {yy}} | #

ברגע שיש לך את זה מטריקס הוקמה (וזה יהיה מטריקס "פונקציה", שכן התוכן יהיה פונקציות של x ו- y), אז אתה יכול לקחת את אחת הנקודות הקריטיות שלך להעריך את כל המטריצה קובע. כלומר:

(x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) # 2 (#

בהתאם לתוצאות החישוב, ניתן ללמוד את מהות הנקודה הקריטית:

אם #H> 0 #, יש מינימום / מקסימום בנקודה זו. בדוק את הסימן של #f _ {"xx"} #. אם זה חיובי, הנקודה היא דקות. אם זה שלילי, הנקודה היא מקסימום. (זה מקביל למבחן הנגזרת ה"מסורתי "השני לפונקציות בעלות משתנה יחיד של x).

אם #H <0 #, יש נקודת אוכף בנקודה זו.

אם #H = 0 #, הבדיקה אינה חד משמעית ואתה חייב להסתמך על אמצעים אחרים, כגון גרף של הפונקציה כדי לקבוע ויזואלית.