אינטגרציה של 1 / (1 + x ^ 3) dx?

תשובה:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 (2x-1) / sqrt3) + C #

הסבר:

התחל על ידי מיצוב המכנה:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

עכשיו אנחנו יכולים לעשות שברים חלקי:

# (+ 1 + x + 3) = 1 / (x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

אנחנו יכולים למצוא # A # בשיטת הכיסוי:

# 1 / (טקסט (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1) = 1/3 #

הבא נוכל להכפיל את שני הצדדים על ידי מכנה LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

זה נותן את המשוואות הבאות:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

זה אומר שאנחנו יכולים לשכתב את האינטגרל המקורי שלנו:

(x + 1) - (x + 2) / (x ^ 2-x + 1) # dx = 1 / 3int 1 / (x + 1)

אינטגרל הראשון יכול להיעשות באמצעות החלפת u מפורשת, אבל זה די ברור כי התשובה היא #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

אנחנו יכולים לפצל את אינטגרל הנותרים לשניים:

# dx = 1 / 2int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int

# Dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx # # 1/2 (int (2x-1) / x ^ 2-x + 1)

הסיבה התעלולים עם הכפלה וחלוקת על ידי #2# היא להפוך את המכנה יד שמאל קל יותר להשתמש ב- U- החלפה ב.

אני אתקשר אינטגרל אינטגרל 1 אינטגרל ימין אינטגרל 2

אינטגרל 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

מכיוון שכבר הכנו את האינטגרל הזה להחלפה, כל שעלינו לעשות הוא תחליף # u = x ^ 2-x + 1 #, והנגזר הוא # 2x-1 #, כך אנו מתחלקים על ידי זה כדי להשתלב ביחס # u #:

#int 2 1 u003c / b u003d u003d u003d u003d

אינטגרל 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

אנחנו רוצים לקבל את זה אינטגרל לתוך הטופס:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

כדי לעשות זאת, אנחנו צריכים להשלים את הכיכר עבור המכנה:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# 3/1 / x / 2-x + 1) dx = 3int 1 / (x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

אנחנו רוצים להציג את החלפת u כך:

# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

אנו מכפילים על ידי הנגזר ביחס # u # להשתלב ביחס # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

השלמת האינטגרל המקורי

עכשיו שאנחנו יודעים את התשובה אינטגרל 1 אינטגרל 2, אנחנו יכולים לחבר אותם בחזרה לתוך הביטוי המקורי כדי לקבל את התשובה הסופית שלנו:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C = #

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 (2x-1) / sqrt3) + C #

תשובה:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan (2x-1) / sqrt3) + C #

הסבר:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) # #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) # #-# 1 / 3int (x + 1) (x-2) / / x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) # #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan (2x-1) / sqrt3) + C #

כיצד אתם משלבים אינט-שניה ^ -1x על ידי אינטגרציה על ידי חלקים שיטה?

התשובה היא = x "arx" secx-ln (x + sqrt) x = 2-1) + C אנחנו צריכים (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ אינטגרציה של חלקים היא intu'v = uv-intuv 'כאן, יש לנו u' = 1, =>, u = xv = "arc "xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt xxqrt (xx 2x) בצע את האינטגרל השני על ידי החלפה תן x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu + secu + tanu)) + (secu + tanu) = (= secu + tanu). (x + 2) = (d =) = dv = (d =) = dv = ^ 2-1)) לבסוף, int "arc" secxd

כיצד לפתור בעיה זו צעד אחר צעד עם יישום של אינטגרציה?

(n) (34) = 3900-400sqrt2 ~ ~ 3334 b) N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500- 400sqrt2 אנו מתחילים על ידי פתרון עבור N (t). אנחנו יכולים לעשות זאת על ידי שילוב של שני הצדדים של המשוואה: N = (t) = 200 (t + 2) ^ (1/2) int N '(t) dt = int 200 (t + 2) ^ (1 / 1/2) dt יכולנו לבצע תחליף u עם u = t + 2 כדי להעריך את האינטגרל, אך אנו מזהים ש- du = dt, כך שאנו יכולים רק להעמיד פנים ש- t + 2 הוא משתנה ולהשתמש בכוח (+ 2) + (C + 400 = c) (+ t + 2) + C (C) (0) = 1500: N (0) = 400sqrt (0 + 2) + C = 1500 C = 1500-400sqrt2 זה נותן כי הפונקציה שלנו, N (t) יכול לבוא לידי ביטוי כמו: N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500-400sqrt2 אנחנו יכולים לחבר את 14 ו

איך לענות על אלה באמצעות אינטגרציה?

השטח הוא = (32/3) u ^ 2 והנפח הוא = (512 / 15pi) u ^ 3 התחל על ידי מציאת היירט עם ציר ה- x y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 x = 0 ו- x = 4 השטח הוא dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 0 = = 3 / 3u ^ 2 עוצמת הקול היא dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [5/3 / 3x = 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) = pi (512/15)