איך אני מוצא את אינטגרל אינט (x * cos (5x)) dx?

נזכור את הנוסחה לאינטגרציה על ידי חלקים, שהיא:

#int u dv = uv - int v du #

כדי למצוא את זה אינטגרל בהצלחה אנו נותנים #u = x #, ו #dv = cos 5x dx #. לכן, #du = dx # ו #v = 1/5 sin 5x #. (# # ניתן למצוא באמצעות מהירה # u #-החלפה)

הסיבה שבחרתי #איקס# ערך # u # היא כי אני יודע כי מאוחר יותר אני בסופו של דבר שילוב # # כפול # u #- נגזרת. מאז נגזרת של # u # זה רק #1#, ומאחר שילוב פונקציה טריג כשלעצמו לא עושה את זה יותר מורכב, הסרנו ביעילות את #איקס# מן integrand ורק צריך לדאוג עכשיו את הסינוס.

אז, חיבור הנוסחה של IBP, אנחנו מקבלים:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 חטא 5x dx #

משכה את #1/5# מתוך integrand נותן לנו:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int int 5x dx #

שילוב סינוס רק לקחת # u #-החלפה. מאז כבר השתמשנו # u # עבור הנוסחה של IBP אני אשתמש במכתב # q # במקום

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

לקבל # 5 dx # בתוך integrand אני להכפיל את אינטגרל על ידי אחר #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

וכן, החלפת הכל במונחים של # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 1/5 int sinq * dq #

אנו יודעים כי אינטגרל של #חטא# J # -cos #, כדי שנוכל לסיים את האינטגרל הזה בקלות. זכרו את קבוע האינטגרציה:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

עכשיו אנחנו פשוט תחליף בחזרה # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

וישנו את האינטגרל שלנו.