כיצד לפתור עבור inte xxosxdx?

תשובה:

(x) + cos (x)) + C # (x)

הסבר:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

אנו נשתמש באינטגרציה על ידי חלקים, אשר קובע כי #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

השתמש אינטגרציה על ידי חלקים, עם # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, ו # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

השתמש אינטגרציה על ידי חלקים שוב אינטגרל השני, עם # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, ו # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

עכשיו, זוכר שאנחנו הגדירו # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. לכן, המשוואה לעיל הופך את הדברים הבאים (לזכור להוסיף קבוע של אינטגרציה):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

(+) X + x + x = e + x (חטא (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (חטא (x) + cos (x)) + C #

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

באמצעות הזהות של דה מוברה

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # יש לנו

#into e x x c x x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx # #

אבל (1 + i) x = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = # (1 + i) x) dx = 1 /

# 1 (1-i) / 2e ^ x (c + x isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx-cosx) # #

ולבסוף

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #