הראה שהנתיב שנמצא בנקודת החיתוך של שלושה מטוסים משיקים נייחים לגירסה האליפסואידית ^ 2 + ^ 2 + cz ^ 2 = 1 הוא כדור עם אותו מרכז כמו זה של האליפסואיד.

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

מתקשר # + Y (x, y, z) = ax + 2 + by ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

אם #p_i = (x_i, y_i, z_i) ב- E # לאחר מכן

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # הוא מטוס משיק ל # E # כי יש נקודה משותפת ו #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # הוא נורמלי # E #

תן # Pi-> אלפא x + beta y + gamma z = delta # להיות מטוס כללי משיק ל # E # לאחר מכן

# (x_i = אלפא / (דלתא)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #

אבל

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # לכן

# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # ואת משוואת המטוס הגנרית משיק הוא

#alpha ^ + a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c #

עכשיו ניתנו שלושה מטוסים אורתוגונליים

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

וקורא #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # ואת ביצוע

#V = (vc v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # אנו יכולים לבחור

#V cdot V ^ T = I_3 #

וכתוצאה מכך

# V ^ Tcdot V = I_3 #

אז יש לנו גם

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), sum_i alpha_i beta_i = 0), sum_i alpha_i gamma_i = 0), sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

עכשיו הוספת #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # יש לנו

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (סכום xy (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + סכום (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

ולבסוף

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

אבל # sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

לכן

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

המהווה את הנתיב העוקב בנקודת החיתוך של שלושה מטוסים משיקים בניצנים הדומים לאליפסואידים.

מצורף מגרש עבור אליפסואיד

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #