איך גורם ^ 8 + b ^ 8?

תשובה:

# a + b + e ^ (ipi (2k + 1) / 8) # # ל #b ב- RR #

# a + | b + 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) # ל #b = | b | e ^ (itheta) ב- CC #

הסבר:

לפי משפט היסוד של אלגברה, אנו יכולים גורם הביטוי נתון

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #

שבו כל אחד # alpha_k # הוא שורש # x ^ 8 + b ^ 8 #.

פתרון עבור # alpha_k #, אנחנו מקבלים

# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #

# => x ^ 8 = -b ^ 8 #

# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #

# = | b | (-1) ^ (1/8) # (בהנחה #b ב- RR #)

# = | | b (e ^ (i pi + 2pik)) ^ ^ (1/8) #

# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k ב- ZZ #

כפי ש #k ב- {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # חשבונות של כל הערכים הייחודיים של טופס זה, אנחנו מקבלים פקטורציה שלנו כמו, עבור #b ב- RR #

# a + b + e ^ (ipi (2k + 1) / 8) # #

עבור כללי יותר #b ב- CC #, ואז נניח #b = | b | e ^ (itheta) #, אנחנו יכולים לעבור חישובים דומים כדי למצוא

# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #

משמעות

# a + | b + 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #

סליחה, אני מתעלם כמה פרטים קטנים, התשובה שסופקה על ידי סדה נכונה.

נניח #b ne 0 # ו # a, b ב RR # יש לנו

# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # לאחר מכן

# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # לאחר מכן

# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # הם # k = 0,1, cdots, 7 # שורשים או גורמים.

הגדר

#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #

ואז

# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2 a b + b ^ 2 #

# p_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2 a b + b ^ 2 #

# f_3 = p (3) p (4) = a + 2 + (sqrt 2 + sqrt 2 a b + b ^ 2 #

# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (2 sqrt 2 + sqrt 2 a b + b ^ 2 #

לכן

# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # עם מקדמים ריאליים.