(x,) 0) = (1/6) pi_2 (x) +) 1 () 1 בכל זמן מאוחר יותר t = t_1, phi_n הם eigenfunctions אנרגיה של פוטנציאל פוטנציאל אינסופי. כתוב את התשובה במונחים של E_0?

(x,) 0) = (1/6) pi_2 (x) +) 1 () 1 בכל זמן מאוחר יותר t = t_1, phi_n הם eigenfunctions אנרגיה של פוטנציאל פוטנציאל אינסופי. כתוב את התשובה במונחים של E_0?
Anonim

ובכן, אני מקבל # 14 / 5E_1 #… ובהינתן המערכת שבחרת, זה לא יכול להיות מחדש לידי ביטוי במונחים של # E_0 #.

יש כל כך הרבה חוקי מכניקה קוונטית שבורים בשאלה זו …

  • ה # phi_0 #, מאחר שאנו משתמשים בפתרונות פוטנציאליים פוטנציאליים אינסופיים, נעלמת אוטומטית … #n = 0 #, לכן #sin (0) = 0 #.

ועל הקשר, היה לנו לתת #phi_n (x) = sqrt (2 / L) חטא (npix) / L) # #…

  • זה בלתי אפשרי כדי לכתוב את התשובה במונחים של # E_0 # כי #n = 0 # אינו קיים עבור הפוטנציאל הטמון האינסופי. אלא אם כן אתה רוצה את החלקיק להיעלם , אני חייב לכתוב את זה במונחים של # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • האנרגיה היא קבועה של התנועה, כלומר. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

אז עכשיו…

(2 / L) חטא (פיקס) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) חטא (2pix) / L) # #

ערך הציפייה הוא קבוע בתנועה, ולכן לא אכפת לנו באיזו שעה # t_1 # אנחנו בוחרים. אחרת, זו אינה שיטה שמרנית …

# << E >> = (<< Psi | HatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # עבור חלק #n = 1, 2, 3,… #

למעשה, אנחנו כבר יודעים מה זה צריך להיות, שכן המילטוניאן עבור אחד פוטנציאל מימדי פוטנציאל אינסופי הוא זמן- INDEPENDENT …

#HH = = ^ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

וה # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # עבור אל 1 באינטגרל:

(x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (# (X, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

שבו יש לנו לתת #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. שוב, כל גורמי הפאזה מבטלים, ואנו מציינים שהמונחים החוץ-אלכסוניים הולכים לאפס בגלל האורתוגונליות של # phi_n #.

המכנה הוא הנורמה של # Psi #, שהוא

# 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

לכן, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. זה נותן:

# (> / 1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) חטא ((pix) / L) לבטל (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -^ ^ 2 / (2) (d 2) / dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) (0) ^ (0) ^ (2) (2pix) / L) לבטל (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -^ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) ((2 / pix) / (L) לבטל (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

החל את הנגזרים:

# (6 / L) int_ (0) ^ (L) חטא ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 חטא ((2) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) חטא (2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 חטא (2pix) / L) dx #

קונסטנטים צפים החוצה:

# (6 / L) int_ (0) ^ (L) חטא ((pix) / L) חטא (pix) / L) dx + 1/2 (4p ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) intx (0) ^ (L) חטא (2pix) / L) חטא (2pix) / L) dx #

וזה אינטגרל ידוע מסיבות פיזיות להיות באמצע הדרך בין #0# ו # L #, עצמאית # n #:

(2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# 1/6/5 / 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = color (כחול) (14/5 E_1) #

תשובה:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

הסבר:

כל מצב נייח המתאים אנרגיה eigenvalue # E_n # מרים גורם פאזה #e ^ {- iE_n t} # על האבולוציה בזמן. המדינה הנתונה היא לא מצב נייח - שכן הוא סופרפוזיציה של eigenstates אנרגיה השייכים ערכים שונים. כתוצאה מכך, היא תתפתח בזמן באופן לא טריוויאלי. עם זאת, משוואת Schroedinger אשר קובע את האבולוציה הזמן של מדינות הוא ליניארי - כך כל רכיב eigenfunction אנרגיה מתפתח באופן עצמאי - להרים גורם השלב שלה.

אז, את הפתיחה- wave פונקציה

(x) + 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

מתפתח בזמן # t # ל

(#, x) t = = 1) xi = pi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

לפיכך, ערך הציפיות האנרגטיות בזמן # t # ניתן ע"י

(X, t) כובע {H} psi_A (x, t) dx #

# iT_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) (= 1/3) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) (1) (1) - (1) - (1) - (1) - (1) iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

(= 1/3) pi_1 (x) ei {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/3) pi_0 (x) e ^ {iE_0 / 2) ei_0 / ℏ t (+) (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -IE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

שבו השתמשנו בעובדה כי #phi_i (x) # הם eigenfunctions אנרגיה, כך #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

זה עדיין נותן לנו תשעה תנאים. עם זאת, החישוב הסופי הוא מפושט הרבה על ידי העובדה כי eigenfunctions האנרגיה הם Ortho- מנורמל, כלומר הם מצייתים

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij}

זה אומר של תשעה אינטגרלים, רק שלושה לשרוד, ואנחנו מקבלים

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

שימוש בתוצאה הסטנדרטית #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, יש לנו #_1_1 = 4E_0 # ו # E_2 = 9E_0 # עבור פוטנציאל פוטנציאל טוב (אתה עשוי להיות יותר רגילים ביטוי אשר אומר #E_n propto n ^ 2 # עבור באר אינסופי - אבל אלה המדינה הקרקע מסומן # E_1 # - הנה אנחנו תיוג זה # E_0 # - ומכאן השינוי). לכן

# <E> = (1/6 פעמים 1 + 1/3 פעמים 4 + 1/2 פעמים 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

הערה:

  1. בעוד הפרט eigenfunctions אנרגיה להתפתח בזמן על ידי להרים גורם פאזה, את הפונקציה הכללית גל לא שונים מן הראשון על ידי רק גורם פאזה - זו הסיבה שזה כבר לא מצב נייח.
  2. האינטגרלים המעורבים היו כמו

    # i_i-E_j / ℏt} פעמים int_-infty ^ # = i_j_ ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} = int_-infty ^ infi psi_i (x) psi_j (x) dx #

    והם נראים כאילו הם תלויים בזמן. עם זאת, אינטגרלים רק לשרוד הם אלה עבור # i = j # - ואלו הן בדיוק אלה אשר התלות בזמן מבטל.

  3. התוצאות האחרונות תואמות את העובדה #hat {H} # נשמרת - למרות שהמדינה אינה מצב נייח - ערך הציפיות האנרגטיות אינו תלוי בזמן.
  4. הפונקציה הגל המקורי כבר מנורמל מאז # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # ונורמליזציה זו נשמרת בזמן האבולוציה.
  5. אנחנו יכולים לקצץ הרבה עבודה אם היינו עושים שימוש בתוצאה מכנית קוונטית סטנדרטית - אם פונקציית גל מורחבת בצורה #psi = sum_n c_n phi_n # איפה ה # phi_n # הם eigenfunctions של מפעיל Hermitian #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, לאחר מכן # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, בתנאי, כמובן, כי מדינות מנורמל כראוי.